நேரியல் கோப்பு என்பதற்கான மூலத்தைப் பார்

[[கணிதம்|கணிதத்திலும்]],  கணிதத்தின் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும்,  '''நேரியல் கோப்பு''', '''நேரியல் உருமாற்றம்''', '''நேரியற்செயலி''' அல்லது '''நேரியற்செயல்முறை''' (''linear map, transformation, operator'') என்ற கருத்து அடிப்படையானது. பல [[அறிவியல்]] பயன்பாடுகளிலும், ஏறத்தாழ எல்லா சமுதாயவியல், மருத்துவவியல், உயிரிய-தொழில்நுட்பவியல் பயன்பாடுகளிலும், நேரியல் கோப்புக்குரிய சூழ்நிலை தானாக இல்லாவிட்டாலும், எவ்வளவு தூரம் நேரியல் பண்புகளுடையதாக அச்சூழ்நிலையை மாற்றமுடியும் என்றே ஆராய்ச்சியாளர்கள் முயல்வார்கள். நேரியல் அல்லாத (non-linear) பயன்பாடுகளிலும் நேரியல் சூழ்நிலைக்குத் தோராயப் படுத்துவதே முதல் முயற்சி. ஆக, நேரியல் அல்லாத  பயன்பாடுகளிலும் [[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதச்]] செயல்பாடுகளே அடிப்படையில் தேவைப்படுவதால், நேரியல் கோப்பு என்பது முழு கணித உலகத்திலும் இன்றியமையாததாகிறது.

==வரையறை==
U, V  இரு [[திசையன் வெளி|திசையன் வெளிகள்]],
இரண்டுக்கும் திசையிலி களங்கள் ஒன்றே என்று கொள்வோம்.

கீழ்க்கண்ட இரண்டு நிபந்தனைக்குட்பட்டால், <math>T: U \mapsto V</math>  ஒரு '''நேரியல் கோப்பு (உருமாற்றம், செயல்முறை)''' எனப்படும்:

:('''நே.கோ.1'''):  <math>u_1, u_2</math> இரண்டும் <math>U</math> இல் ஏதாவது இரு திசையன்கள் எனில், <math>T(u_1 + u_2) = T(u_1) + f(u_2)</math> ;

:('''நே.கோ.2'''):  <math>U</math> இலுள்ள எல்லாத் திசையன்கள் <math>u</math> க்கும், எல்லா திசையிலிகள்  <math>\alpha</math> க்கும், <math>T(\alpha u) =\alpha T(u).</math>

இங்கு, U  '''ஆட்கள வெளி''' (Domain Space) என்றும்,  V '''பிம்ப வெளி''' (Image space) என்றும் சொல்லப்படும்.

திசையிலி களம் <math>\mathbf{F}</math> ஐக் குறிப்பிட்டுச்சொல்லவேண்டியிருந்தால்,  <math>\mathbf{F}-</math>நேரியல் (கோப்பு) எனக் குறிப்பிடப்படும்.

[[கூட்டல் (கணிதம்)#Associativity|கூட்டலின் சேர்ப்புப்பண்பின்படி]] (+), <math display="inline"> \mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V</math> திசையன்களுக்கும், <math display="inline">c_1, \ldots, c_n \in K,</math> திசையிலிகளுக்கும் பின்வரும் முடிவு உண்மையாக இருக்கும்::<ref>{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}. Suppose now that {{mvar|X}} and {{mvar|Y}} are vector spaces ''over the same scalar field''. A mapping <math display="inline">\Lambda: X \to Y</math> is said to be ''linear'' if <math display="inline"> \Lambda(\alpha \mathbf x + \beta \mathbf y) = \alpha \Lambda \mathbf x + \beta \Lambda \mathbf y</math> for all <math display="inline">\mathbf x, \mathbf y \in X</math> and all scalars <math display="inline">\alpha</math> and <math display="inline">\beta</math>. Note that one often writes <math display="inline">\Lambda \mathbf x</math>, rather than <math display="inline">\Lambda(\mathbf x)</math>, when <math display="inline"> \Lambda</math> is linear.</ref><ref>{{harvnb|Rudin|1976|page=206}}. A mapping {{mvar|A}} of a vector space {{mvar|X}} into a vector space {{mvar|Y}} is said to be a ''linear transformation'' if: <math display="inline">A\left(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2\right) = A\mathbf{x}_1 + A\mathbf{x}_2,\  A(c\mathbf{x}) = c A\mathbf{x}</math> for all <math display="inline">\mathbf{x}, \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in X</math> and all scalars {{mvar|c}}. Note that one often writes <math display="inline">A\mathbf{x}</math> instead of <math display="inline">A(\mathbf {x})</math> if {{mvar|A}} is linear.</ref>
:<math display="block">T(c_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + c_n \mathbf{u}_n) = c_1 T(\mathbf{u}_1) + \cdots + c_n T(\mathbf{u}_n).</math>  அதாவது நேரியல் கோப்பானது, [[நேரியல் சேர்வு]]களைக் காக்கும்.

==வரையறையைப்பின்பற்றிய உடன்விளைவுகள்==

:* <math>T(\mathbf{0}_U) = \mathbf{0}_V</math>

:* <math>T(-u) = -T(u), u \in U.</math>

:* <math>T(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n)  = \alpha_1 T(u_1) + \alpha_2 T(u_2) + ... + \alpha_n T(u_n),</math>. இங்கு <math>\alpha</math> க்களெல்லாம் அளவெண்கள்,  எல்லா <math>u</math> க்களும் <math>U</math> விலுள்ள உறுப்புகள்.

:* <math>U</math> வின் ஏதாவதொரு அடுக்களத்தின் உறுப்புகளை <math>T</math>  எங்கு எடுத்துச்செல்கிறதோ அதைப்பொருத்து முழு <math>T</math> இன் பண்புகளும் தீர்மனிக்கப்படுகின்றன.

==குறிப்பிடத்தக்க இரு நேரியல்கோப்புகள்==

: <math>U</math> விலுள்ள ஒவ்வொரு <math>u</math> க்கும், <math>T(u) = \mathbf{0}_U</math> என்று வரையறுக்கப்பட்டால்  <math>T: U \mapsto V</math> ''' சூனியக்கோப்பு''' எனப்பெயர் பெறும்.

: <math>U</math> விலுள்ள ஒவ்வொரு <math>u</math> க்கும், <math>T(u) = u </math> என்று வரையறுக்கப்பட்டால்  <math>T: U \mapsto U</math> '''முற்றொருமைக்கோப்பு''' எனப்பெயர் பெறும்.  அதற்குக்குறியீடு  <math>I_U</math>.
: அதனால் <math>U</math> விலுள்ள ஒவ்வொரு <math>u</math> க்கும், <math>I_U(u) = u</math>.

==எடுத்துக்காட்டுகள்==

'''கீழேயுள்ளவை நேரியல் கோப்புகள்''':

:*  <math>T: V_3 \mapsto V_3</math>. வரையறை: <math>T(x,y,z) = (x,y,-z).</math> இது எல்லா புள்ளிகளையும் xy-தளத்தில் பிரதிபலிக்கிறது.

:*  <math>T: \mathcal{P} \mapsto \mathcal{P}.</math> வரையறை:  <math>\mathcal{P}</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு <math>p</math> க்கும்  <math>T(p) = p(0).</math>

:*  <math>T: \mathcal{P}(a,b) \mapsto \mathcal{P}(a,b).</math> வரையறை: <math>(a,b)</math> இலுள்ள எல்லா <math>x</math> க்கும், 
:   <math>T(p)(x) = x p(x)</math>.

:*  <math>T: V_2 \mapsto V_2</math>. வரையறை:  <math>T(x,y) = (0, y-x).</math>

:*   <math>T: \mathcal{P} \mapsto \mathcal{P}.</math> வரையறை:  <math>\mathcal{P}</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு <math>p</math> க்கும்  <math>T(p)=p'</math>. 
: இங்கு <math>p'</math> என்பது <math>p</math> இன் வகைக்கெழு. இது    வகையீட்டு (நேரியல்) கோப்பு எனப்படும்.

:*  <math>D: \mathcal{C}^{(1)}(a,b) \mapsto \mathcal{C}(a,b)</math>. வரையறை: <math>D(f) = f'. f'</math> என்பது <math>f</math> இன் வகைக்கெழு. <math>D</math> க்கு '''வகையீட்டு  செயல்முறை''' (Differential Operator) எனப்பெயர்.

:*  <math>\mathcal{I}: \mathcal{C}(a,b) \mapsto \mathbf{R} </math> வரையறை: <math>\mathcal{I}(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx</math>.  <math>\mathcal{I}</math> க்கு '''தொகையீட்டு செயல்முறை''' (Integral Operator) எனப்பெயர்.

:*  <math>f: \mathbf{C} \mapsto \mathbf{C}.</math> வரையறை: <math>f(z) = \overline{z}</math>. இது ஒரு  <math>\mathbf{R}</math>-நேரியல் கோப்பு.

:* <math>L_A : \mathbf{R}^n \mapsto \mathbf{R}^m.</math> இங்கு  <math>A </math> மெய்யெண்களாலான  ஒரு  <math>m \times n</math> [[அணி]]. வரையறை: <math>\mathbf{R}^n</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு <math>u</math> க்கும்   <math>L_A(u) = Au.</math> 
:(<math>Au</math>  என்பது [[அணிப்பெருக்கல்]]).

'''கீழேயுள்ளவை நேரியல் கோப்புகள் அல்ல''':

:*  <math>u_0 \neq 0</math> ஐ <math>U</math> இல் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையனாகக்கொள். <math>T: U \mapsto U</math> : வரையறை: <math>U</math> விலுள்ள ஒவ்வொரு <math>x</math> க்கும்
:   <math>T(x) = x  +   u_0</math>. இதற்கு '''நகர்த்தல் கோப்பு ''' (Translation operator)எனப்பெயர்.

:* <math>T: V_2 \mapsto V_2</math> . வரையறை: <math>T(x, y)  = (x^2, y^2)</math>

:* <math>f: \mathbf{C} \mapsto \mathbf{C}.</math> வரையறை: <math>f(z) = \overline{z}</math>.  இங்கு அளவெண்களத்தை <math>\mathbf{C}</math> ஆக எடுத்துக்கொண்டால் ,  இது ஒரு  <math>\mathbf{C}</math>-நேரியல் கோப்பு அல்ல. ஏனென்றால்  நே. கோ.2 தவறுகிறது.

==நேரியல் கோப்பின் வீச்சு, சுழிவு / உட்கரு)==

:<math>T:U \mapsto V, U, V,</math> திசையன்வெளிகள், <math>T</math> நேரியல் கோப்பு.

:<math>R(T) = \{T(u): u\in U\},</math> அ-து, <math>T</math> இன் எல்லா பிம்பங்களும் சேர்ந்த கணம். இதற்கு <math>T</math> இன் '''வீச்சு''' (Range of T)  என்று பெயர்.

:<math>N(T) = \{u\in U: T(u) = \mathbf{0}_V\},</math> அ-து, <math>V</math> இலுள்ள சூனியத் திசையனுக்கு  <math>T</math> யால் எடுத்துச் செல்லப்படும் எல்லா <math>U</math>-உறுப்புகளும் சேர்ந்த கணம். இதற்கு  <math>T</math> இன் '''சுழிவு''' (Null space of T / kernel of T) அல்லது '''உட்கரு'''  என்று பெயர்.

:வீச்சு, சுழிவு இரண்டுமே சம்பந்தப்பட்ட திசையன் வெளிகளின் [[உள்வெளி]]கள்.

பின்வரும் பரிமாண வாய்பாடு [[வீச்சளவை சுழிவளவை தேற்றம்]] என அறியப்படுகிறது:<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2013|loc=0.2.3 Vector spaces associated with a matrix or linear transformation, p. 6}}</ref>
<math display="block">\dim(\ker( T )) + \dim(\operatorname{im}( T )) = \dim( V ).</math>

எண் <math display="inline">\dim(\operatorname{im}(T))</math>, <math display="inline">T</math> இன் [[அணிகளின் அளவை|அளவை]] என அழைக்கப்படுகிறது. அதன் குறியீடு: <math display="inline">\operatorname{rank}(T)</math> அல்லது <math display="inline">\rho(T)</math>.<ref name=":0">{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} p. 52, § 2.5.1</ref><ref name=":1">{{Harvard citation text|Halmos|1974}} p. 90, § 50</ref>

எண் <math display="inline">\dim(\ker(T)),</math> <math display="inline">T</math> இன் சுழிவு அல்லது உட்கரு என அழைக்கப்படுகிறது. அதன் குறியீடு: <math display="inline">\operatorname{null}(f)</math> அல்லது <math display="inline">\nu(f)</math>.<ref name=":0" /><ref name=":1" />

<math display="inline">V,</math> <math display="inline">W</math> இரண்டும் முடிவுறு பரிமாண வெளிகளாக இருந்து <math display="inline">T</math> இன் அணி உருவகிப்பு <math display="inline">A</math> எனில், <math display="inline">T</math> இன் அளவையும் சுழிவும் அணி <math display="inline">A</math> இன் அளவை மற்றும் சுழிவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

==அமைவியங்கள்==
கணிதத்தில், முக்கியமாக [[நுண்புல இயற்கணிதம்|நுண்புல இயற்கணிதத்தில்]],  [[அமைவியம்]] (Morphism) என்பது [[கணித அமைப்பு]] களுக்கிடையேயுள்ள போக்குவரத்து. இரண்டு கணித அமைப்புகளுக்கிடையே அவைகளுக்குள்ள ஏதோ ஒரு அமைப்பை சிதறாமல் காக்கும் ஒரு அமைவியத்திற்குப் பொதுப்பெயர் [[காப்பமைவியம் (கணிதம்)|காப்பமைவியம்]].  அது எந்த அமைப்பைக்  காக்கிறதோ அதைப் பொறுத்து அதனுடைய பெயரும் மாறுபடும்.

:<math>T:U \mapsto V, U, V,</math> திசையன்வெளிகள், <math>T</math> நேரியல் கோப்பு. <math>U = \mathbf{R}^n, V = \mathbf{R}^m</math> ஆகவும் இருந்தால்,  <math>T</math> க்கு ஒரு  <math>m\times n</math> அணி உருவகிப்பு இருக்கும். [[அணி (கணிதம்)|அவ்வணியை]]  <math>M</math>  என்று குறிப்போம்.

:*வெளி அமைவியம் (epimorphism): T ஒரு [[முழுக்கோப்பு|முழுக்கோப்பா]]னால், அ-து, R(T) = V ஆக இருந்தால், T ஒரு '''வெளி அமைவியம்''' எனப்படும். இந்த பட்சத்தில், M இனுடைய நிரல்களின் [[அளாவல்]]  V ஆக இருக்கும்.

:*ஒன்றமைவியம் (monomorphism): T ஒரு [[உள்ளிடுகோப்பு|ஒன்றுக்கொன்றான இயைபுடைய]] கோப்பாக  இருந்தால், அ-து, <math>u \leftrightarrow T(u),</math> <math>U</math>க்கும் <math>R(T)</math> க்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபை ஏற்படுத்தினால், <math>T</math> ஒரு '''ஒன்றமைவியம்''' எனப்படும். இந்த பட்சத்தில், M இனுடைய நிரல்கள் [[நேரியல் சார்பின்மை|நேரியல் சார்பற்றதாக]] இருக்கும்.

:*சம அமைவியம் (isomorphism): <math>T</math> ஒரு வெளி அமைவியமாகவும், ஒன்றமைவியமாகவும் இருந்தால் அது '''சம அமைவியம்''' எனப்படும். இந்த பட்சத்தில்<math> M</math> இனுடைய நிரல்கள் <math>V</math> க்கு ஒரு [[திசையன் வெளியின் அடுக்களம்|அடுக்களமாக]] அமையும்.

:*உள் அமைவியம் (endomorphism): <math>T: U \mapsto U</math> ; அ-து, அரசு வெளியும் பிம்ப வெளியும் ஒன்றாகவே இருந்தால், <math>T</math> ஒரு '''உள் அமைவியம்''' எனப்படும். இப்பொழுது M ஒரு [[அணி (கணிதம்)#சதுர அணி|சதுர அணியாக]] இருக்கும்.

:*தன்னமைவியம் (automorphism): <math>T: U \mapsto U</math>, அ-து, <math>T</math> ஒரு உள் அமைவியம்; மேலும் அது ஒரு சம அமைவியமாகவும் இருந்தால், <math>T</math>  ஒரு '''தன்னமைவியம்''' எனப்படும். இந்த பட்சத்தில் M ஒரு  [[வழுவிலா அணி]]யாக இருக்கும்.

== குறிப்புகள் ==
{{சான்று}}

==நூலாதாரங்கள்==
* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2015|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
*{{cite book |last1=Bronshtein |first1= I. N. |last2= Semendyayev |first2= K. A. |year=2004 |title= [[Bronshtein and Semendyayev|Handbook of Mathematics]] |edition= 4th |location= New York |publisher= Springer-Verlag |isbn=3-540-43491-7}}
* {{Cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=1974|isbn=0-387-90093-4|edition=2nd|author-link=Paul Halmos|orig-year=1958}}
* {{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=Matrix Analysis |edition=Second |publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-83940-2 | year=2013 }}
*{{Cite book|last=Katznelson|first=Yitzhak|title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra|url=https://archive.org/details/terseintroductio0000katz|last2=Katznelson|first2=Yonatan R.|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2008|isbn=978-0-8218-4419-9|author-link=Yitzhak Katznelson}}
* {{cite book|last=Kubrusly|first=Carlos|title=Elements of operator theory|publisher=Birkhäuser|publication-place=Boston|year=2001|isbn=978-1-4757-3328-0|oclc=754555941}} <!--{{sfn|Kubrusly|2001|p=}}-->
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York | isbn=0-387-96412-6 |edition=Third | year=1987}}
* {{Rudin Walter Functional Analysis|edition=1}} <!-- {{sfn|Rudin|1976|p=}} -->
*{{cite book|last=Rudin|first=Walter|author-link=Walter Rudin|year=1976|edition=3rd|series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics|location=New York|url=https://archive.org/details/PrinciplesOfMathematicalAnalysis|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher=McGraw–Hill|isbn=978-0-07-054235-8}}
* {{Rudin Walter Functional Analysis|edition=2}} <!--{{sfn|Rudin|1991|p=}}-->
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}} <!--{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=}}-->
* {{Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations}} <!--{{sfn|Schechter|1996|p=}}-->
* {{Swartz An Introduction to Functional Analysis}} <!--{{sfn|Swartz|1992|p=}}-->
* {{Cite book|last=Tu|first=Loring W.|title=An Introduction to Manifolds|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2011|isbn=978-0-8218-4419-9|edition=2nd|pages=|author-link=Loring W. Tu}}
* {{Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces|edition=1}} <!--{{sfn|Wilansky|2013|p=}}-->



[[பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்]]
[[பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல்]]
[[பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்]]
[[பகுப்பு:உருமாற்றம் (சார்பு)]]
[[பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்]]