வகுபடும் தன்மை விதி என்பதற்கான மூலத்தைப் பார்

'''வகுபடும் தன்மை விதி''' (''Divisibility rule'') என்பது ஒரு முழுஎண்ணின் வகுபடுதன்மையை அறிந்துகொள்ள எளிமையான வழியாகவும் பயனுள்ள வழியாகவும் உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட [[முழு எண்|முழு எண்ணை]] எடுத்துக்கொண்டு [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தல்]] முழுமையும் செய்து பாராமல் ஒரு நிலையான வகுஎண்ணால் வகுபடுகிறதா இல்லையா என்பதை முடிவு செய்திட இந்த விதிகள் பயன்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களை ஆராய்வதன் மூலம் எளிதாகக் கண்டறியலாம். இக் கட்டுரையானது [[பதின்மம்|தசம]], அல்லது பத்தடிமான  எண்களுக்கு மட்டுமே விதிகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. மார்ட்டின் கார்ட்னர் இந்த விதிகளை செப்டம்பர் 1962 'சயின்டிபிக் அமெரிக்கன்' இதழில் இடம்பெற்ற "கணித விளையாட்டுகள்" பகுதியில் விளக்கியுள்ளார்.<ref>{{cite journal |last1=Gardner |first1=Martin |title=Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12 |url=https://archive.org/details/sim_scientific-american_1962-09_207_3/page/232 |journal=Scientific American |date=September 1962 |volume=207 |issue=3 |pages=232–246 |jstor=24936675|doi=10.1038/scientificamerican0962-232 }}</ref>

==1 முதல் 30 வரையிலான எண்களின் வகுபடும் தன்மை விதிகள்==
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள விதிகள், ஓர் எண்ணை   சிறிய எண்ணாக மாற்றி, அச்சிறிய எண் அதே வகு எண்ணால்  வகுபடுமா என்பதை அறிந்து கொள்ள உதவுகின்றன. எனவே தெளிவாகத் தெரியும் வரை இதே செயல்முறையை மீண்டும் மீண்டும் செய்து பார்த்தல் வேண்டும். கடைசி n இலக்கங்கள் வரை ஆராய்வது போன்று மாற்று வழிகளிலும் வகுபடுதன்மையை ஆய்வு செய்யலாம்.

பல விதிகளைக் கொண்ட வகு எண்களுக்கு, விதிகள் பொதுவாக பல இலக்கங்களைக் கொண்ட எண்களுக்குப் பொருத்தமானவைகளுக்கு முதலில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. பின்னர் அந்த விதியானது  குறைவான இலக்கங்களைக் கொண்ட எண்களுக்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

ஓர்  எண்ணை 2 இன் அடுக்கு அல்லது 5 இன் அடுக்குகளால் (2<sup>''n''</sup> அல்லது 5<sup>''n''</sup>, n என்பது மிகை முழு எண்) வகுபடுமா என்று சோதிப்பதற்கு கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் கடைசி n இலக்கங்களை மட்டுமே பார்க்க வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட எந்த ஒரு எண்ணுக்கும் வகுபடும் தன்மையை கண்டறிய அந்த எண்ணை பகா காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாக, அதாவது <math>p_1^n p_2^m p_3^q</math> ஆக எழுதவேண்டும். இதனைக்கொண்டு ஒவ்வொரு பாகாஎண்ணிற்கும் பொருத்தமான அடுக்கிற்கு ஏற்றாற் போல் வகுபடுவதை நாம் அறிய முடியும். எடுத்துக்காட்டாக 24 ன் வகுபடும்தன்மை அறிந்து கொள்ள 24 = 8×3 = 2<sup>3</sup>×3 என எழுதுவதன் மூலம் 24 என்பது ஒரே நேரத்தில் 3 ஆலும் 8 ஆலும் வகுபடும் என்பதை அறியலாம். எனவே ஒரு எண் 24 ஆல் வகுபடுமா என்பதை அறிய அது 8 மற்றும் 3 ஆல் வகுபடுமா என்பதைச் சோதித்தால் போதும்.
=== 1 முதல் 10 வரை ===
{| class="wikitable"
|+
! வகு எண் 
! வகுபடும் தன்மைக்கான நிபந்தனை
! எடுத்துக்காட்டுகள்
|-
|id=1| '''[[1 (எண்)|1]]'''
|  எல்லா முழு எண்களும் 1 ஆல் வகுபடும். எந்த ஒரு நிபந்தனையும் இல்லை.
| 2 ஆனது 1 ஆல் வகுபடும்.
|-
|id=2| '''[[2 (எண்)|2]]'''
| ஓர்  எண்ணின்  ஒன்றாம்  இலக்கம் 0, 2, 4, 6, 8  ஆகிய எண்களில் ஏதேனும் ஒரு எண்ணாக இருந்தால் அந்த எண் 2 ஆல் வகுபடும். அல்லது ஓர் எண்ணின் கடைசி இலக்கம் இரட்டை எண்ணாக இருந்தால் அந்த எண் 2 ஆல் வகுபடும்.<ref name="Pascal's-criterion">This follows from Pascal's criterion. See Kisačanin (1998), [{{Google books|plainurl=y|id=BFtOuh5xGOwC|page=101|text=A number is divisible by}} p. 100–101]</ref><ref name="last-m-digits">A number is divisible by 2<sup>''m''</sup>, 5<sup>''m''</sup> or 10<sup>''m''</sup> if and only if the number formed by the last ''m'' digits is divisible by that number. See Richmond & Richmond (2009), [{{Google books|plainurl=y|id=HucyKYx0_WwC|page=105|text=formed by the last}} p. 105]</ref>
| 1,294: 4 என்பது இரட்டை.
|-
|id=3 rowspan=2| '''[[3 (எண்)|3]]'''
| ஓர  எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 3 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 3 ஆல் வகுபடும்.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="apostol-1976">Apostol (1976), [{{Google books|plainurl=y|id=Il64dZELHEIC|page=108|text=sum of its digits}} p. 108]</ref><ref name="Richmond-Richmond-2009">Richmond & Richmond (2009), [{{Google books|plainurl=y|id=HucyKYx0_WwC|page=102|text=divisible by}} Section 3.4 (Divisibility Tests), p. 102–108]</ref>
| 405 → 4 + 0 + 5 = 9<br>636 → 6 + 3 + 6 = 15<br>16,499,205,854,376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6  = 69 → 6 + 9 = 15, <br>இவை மூன்றும் 3 ஆல் வகுபடும்.
|-
| ஓர்  எண்ணின் உள்ள 1, 4 மற்றும் 7 என்ற எண்களின் எண்ணிக்கையும் அதே எண்ணில் உள்ள 2, 5 மற்றும் 8 என்ற எண்களின்  எண்ணிக்கையையும் கழிக்க பூச்சியம் கிடைத்தால் அந்த எண் 3 ஆல் வகுபடும் .
| மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில்  16,499,205,854,376 என்ற எண்ணில் 1,4,4,7 என நான்கு முறையும்  அதே போல் 2,5,8,5 என நான்கு முறையும் உள்ளது ஆக  4 − 4 = 0  இந்த எண் 3 இன் மடங்காகும். இந்த எண் 16,499,205,854,376 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்.
|-
|id=4 rowspan=3| '''[[4 (எண்)|4]]'''
| ஓர் எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 4 ஆல் வகுபடும். குறிப்பாக கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் பூச்சியங்களாக இருந்தாலும் அந்த எண் 4 ஆல் வகுபடும் <ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
| 40,832: கடைசி இரண்டு இலக்கம் 32. 4 ஆல் வகுபடும்.
|-
| ஓர்  எண்ணின் பத்தாம் இலக்கம் இரட்டை எண்ணாகவும்  ஒன்றாம் இலக்கத்தில் 0,4 அல்லது 8 இருந்தால் அந்த எண் 4 ஆல் வகுபடும்.<br>ஓர்  எண்ணின் பத்தாம் இலக்கம் ஒற்றை  எண்ணாக இருந்தால்  ஒன்றாம் இலக்கத்தில் 2 அல்லது 6 ஆக இருந்தால் அந்த எண் 4 ஆல் வகுபடும்.
| 40,832: பத்தாம் இலக்கத்தில் உள்ள 3 என்பது ஒற்றை எண்; கடைசி இலக்கம் 2.  4 ஆல் வகுபடும்.
|-
| ஓர்  எண்ணின் பத்தாம் இலக்கத்தின் இரு மடங்குடன் ஒன்றாம் இலக்கத்தைக் கூட்டக் கிடைக்குமெண்  4 ஆல்  வகுபட்டால் முழு எண்ணும் 4 ஆல் வகுபடும்.
| 40,832: (2 × 3) + 2 = 8, ஆக 8 ஆனது 4 ஆல் வகுபடும்.
|-
|id=5| '''[[5 (எண்)|5]] 
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தில் 0 அல்லது 5 என்று இருந்தால் அந்த எண் 5 ஆல் வகுபடும். <ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
| 495 எண்ணின் கடைசி இலக்கம் 5.
|-
|id=6 rowspan=2| '''[[6 (எண்)|6]] 
| ஓர்  எண்ணாது 2 மற்றும் 3 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 6 ஆல் வகுபடும்.<ref name="product-of-coprimes">Richmond & Richmond (2009), [{{Google books|plainurl=y|id=HucyKYx0_WwC|page=102|text=divisible by the product}} Section 3.4 (Divisibility Tests), Theorem 3.4.3, p. 107]</ref>
| 1,458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, ஆக இந்த எண் 3 ஆல் வகுபடும். மற்றும் கடைசி இலக்கம் இரட்டை  எண். ஆக இந்த எண் 6 ஆல் வகுபடும் 
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்துடன் 4 மடங்கு பத்தாம் இலக்கத்தையும் 4 மடங்கு நூறாம் இலக்கத்தையும் 4 மடங்கு  ஆயிரமாவது இலக்கத்தையும்... கூட்டிக் கிடைக்கும் எண்ணானது 6 ஆல் வகுபட்டால் மூலஎண்ணும் 6 ஆல் வகுபடும். (ஏனெனில்  <math>10^n = 4 \pmod{6}</math> க்கு <math>n > 1</math>.)
| 1,458: (4 × 1) + (4 × 4) + (4 × 5) + 8 = 4 + 16 + 20 + 8 = 48 
|-
| id="7"rowspan="8" | '''[[7 (எண்)|7]]'''
| ஓர்  எண்ணின் வலமிருந்து இடமாக மூன்று மூன்று இலக்கங்களின்  தொகுதிகளின் கழித்தலுடன் மீதமுள்ள இலக்கத்தின் கூடுதல் 7 இன் மடங்கை உருவாக்கும்<ref name="Richmond-Richmond-2009"/><ref name="alternating-sum-of-blocks-of-three">Kisačanin (1998), [{{Google books|plainurl=y|id=BFtOuh5xGOwC|page=101|text=third criterion for 11}} p. 101]</ref>
| 1,369,851:  851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
|-
| ஓர் எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தின் 5 மடங்குடன் மீதமுள்ள இலக்கங்களின் கூடுதல் 7 இன் மடங்காகும் (ஏனெனில் 49 7ஆல் வகுபடும்). 
| 483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
|-
| ஓர் எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தின் 2 மடங்கை மீதமுள்ள இலக்கங்களில் இருந்து கழிக்க கிடைக்கும் எண் 7 இன் மடங்காகும் (ஏனெனில்  21 என்பது 7 ஆல் வகுபடும் )
| 483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
|-
| ஓர் எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தின் 9 மடங்கை மீதமுள்ள இலக்கங்களில் இருந்து கழிக்க கிடைக்கும் எண் 7 இன் மடங்காகும்  ( ஏனெனில் 91 என்பது 7 ஆல் வகுமடும்.)
| 483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
|-
| ஓர் எண்ணின் முதல் இலக்கத்தில் உள்ள எண்ணின் மூன்று மடங்குடன் அடுத்த இலக்கத்தில் உள்ள எண்ணைக் கூட்டி வரும் எண்ணின் அருகில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண்ணில் மீதி உள்ள இலக்கங்களில் உள்ள எண்களை எழுத வேண்டும். இதே முறையை இறுதியாக 7 இன் எளிய மடங்கு கிடைக்கும் வரை எழுத வேண்டும். ஏழின் எளிய மடங்கு கிடைத்தால் கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண் ஏழால் வகுபடும். ஏழின் எளிய மடங்கு இறுதியில்  கிடைக்கவில்லையாயின் கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண் ஏழால் வகுபடாது. (ஏனெனில். 10''a'' + ''b'' − 7''a'' = 3''a'' + ''b''; கடைசி எண் அதே மீதியைத் தரும் 10''a'' + ''b''.)
| 483: 4 × 3 + 8 = 20, 
203: 2 × 3 + 0 = 6,

63: 6 × 3 + 3 = 21.
|-
|ஓர்  எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கத்துடன்   மீதமுள்ள இலக்கங்களின் இரண்டு மடங்குடன் கூட்டினால் அது 7 இன் மடங்காகும். இதனை தொடர்ச்சியாக செய்ய மிகச்சிறிய 7 ன் மடங்கு கிடைக்கும். (ஏனெனில் 98 என்பது 7 ஆல் வகுமடும்.)
| 483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
|-
| ஓர்  எண்ணின் இடதுபுறத்திலிருந்து வலது புறமாக ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் 1, 3, 2, −1, −3, −2 என்ற எண்களை வலதுபுறத்திலிருந்து இடது புறமாக முறையே (நூறு, ஆயிரம் இட மதிப்புகளுக்கு அப்பாலுமுள்ள இலக்கங்களுக்கும்  இதனைச் செய்ய) பெருக்கி கிடைக்கும் எண்களின் கூடுதல் 7 இன் மடங்காகும்
| 483,595: (4 × (−2)) + (8 × (−3)) + (3 × (−1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
|-
| ஓர்  எண்ணின் வலமிருந்து இடமாக சோடி சோடியாக பிரித்து ஒவ்வொரு சோடியையும் 7  ஆல் வகுத்து வலதுபுறம் கிடைக்கும் மீதியை 1 ஆல் பெருக்கி அடுத்த மீதியை 2 ஆலும் அதற்கடுத்த மீதியை 4 ஆல் பெருக்கி கூட்ட அது 7 இன் மடங்காகும்
|<nowiki>194,536: 19|45|36 ; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, so it is not divisible by 7</nowiki>
204,540: 20|45|40 ; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, இது 7 ஆல் வகுபடும்.
|-
|rowspan="5" id="8"| '''[[8 (எண்)|8]]'''
| ஓர்  எண்ணின் நூறாம் இலக்கம் இரட்டையாகவும் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களாலான எண் 8 ஆல் வகுபடும் எண்ணாக இருந்தால் அந்த எண் 8 ஆல் வகுபடும்.
| 624:  24.
|-
| ஓர்  எண்ணின் நூறாம் இலக்கம் ஒற்றைபடையாகவும் கடைசி இரண்டு இலக்கத்துடன் 4 ஐ கூட்டக் கிடைக்குமெண் 8 ஆல் வகுபடும்.
| 352: 52 + 4 = 56.
|-
| ஓர்  எண்ணின் கடைசி இலக்கத்துடன் மீதமுள்ள இலக்கத்தின் இரு மடங்கை கூட்ட கிடைக்கும் எண் 8 ஆல் வகுபடும்
| 56: (5 × 2) + 6 = 16.
|-
| ஓர்  எண்ணின் கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் 8 ஆல் வகுபடும் எனில்  அந்த எண் 8 ஆல் வகுபடும். குறிப்பாக கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் பூச்சியமாக இருந்தாலும்  அந்த எண் 8 ஆல் வகுபடும் <ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
| 34,152: வகுபடுமா என சோதிக்க 152: 19 × 8
|-
| ஓர்  எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்துடன் பத்தாம் இலக்கத்தின் இரு. மடங்கையும் நூறாம் இலக்கத்தின் 4 மடங்கையும் கூட்ட  கிடைக்கும் எண் 8 ஆல் வகுபடும்.
| 34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
|-
|id=9| '''[[9 (எண்)|9]]'''
| ஓர்  எண்ணின்  இலக்கங்களின் கூடுதல் 9 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 9 ஆல் வகுபடும்<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="apostol-1976"/><ref name="Richmond-Richmond-2009"/>
| 2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
|-
|id=10| '''10'''
| ஓர்  எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் பூச்சியம் எனில் அந்த எண் 10 ஆல் வகுபடும்.<ref name="last-m-digits"/>
| 130: ஒன்றாம் இலக்கம்  0.
|}

=== 11 முதல் 20 வரை ===
{| class="wikitable"
|+
! வகு எண் 
! வகுபடும் தன்மைக்கான நிபந்தனை
! எடுத்துக்காட்டுகள்
|-
|id=11 rowspan=6| '''11'''
| ஓர் எண் 11 ஆல் வகுபட அவ்வெண்ணின்  ஒன்று விட்ட இலக்கங்களின் கூடுதல்களின் வேறுபாடு 0 ஆகவோ அல்லது 11 ஆல் வகுபடுவதாகவோ இருந்தால் அந்த எண் 11 ஆல் வகுபடும்<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="Richmond-Richmond-2009"/>
| 918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11. அல்லது (9 + 8+ 8) − {1 + 0 + 2) = 22 என்பது 11 ஆல் வகுபடும் .
|-
| ஓர் எண்ணை வலமிருந்து இடமாக இரண்டு இரண்டுஇலக்கங்களின் கூடுதல் 11 ஆல் வகுபடும்.<ref name="Pascal's-criterion"/>
| 627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்துடன் மீதமுள்ள இலக்கத்தில் இருந்து கழிக்க கிடைக்கும் எண் 11 ஆல் வகுபடும்
| 627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின்  10 மடங்கை   மீதமுள்ள இலக்கங்களின் கூடுதல் 11ஆல் வகுபடும். இதனை  தொடர்ச்சியாக  செய்து வர எளிய 11 ன் மடங்கு கிடைக்கும்.
| 627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
|-
|ஓர் எண்ணின் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை இரட்டை எனில் முதல் இலக்கத்துடன் ஒன்றாம் இலக்கத்தை கழித்து மற்ற இலக்கங்களுடன் கூட்டவேண்டும். திருப்ப கிடைக்கும் எண்ணை இது போன்று செய்திட கடைசியாக 11 இன் மடங்கு கிடைக்கும்.
| 918,082: இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 6; இது ஒரு இரட்டை எண் (6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11
|-
| ஓர் எண்ணின் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை ஒற்றை எனில் முதல் இலக்கத்தையும் ஒன்றாம் இலக்கத்தையும் மீதமுள்ள இலக்கத்திலிருந்து கழிக்க கிடைக்கும் எண் 11 இன் மடங்காகும்.
| 14,179: இந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை ஒற்றை எண் (5) → 417 − 1 − 9 = 407 = 37 × 11
|-
|id=12 rowspan=2| '''12'''
| ஓர்  எண்ணாது 3 மற்றும்  4 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 12 ஆல் வகுபடும்.<ref name="product-of-coprimes"/>
| 324: இந்த எண் 3 ஆலும் 4 ஆலும் வகுபடும்.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தை மீதமுள்ள இலக்கங்களின் இரு மடங்கிலிருந்து கழிக்க கிடைக்கும் எண் 12 ஆல் வகுபடும்
| 324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
|-
|id=13 rowspan=4| '''13'''
| ஓர் எண்ணின் வலமிருந்து இடமாக மூன்று, மூன்று இலக்கங்களின் தொகுதிகளின்  (+,-,+ என) மாற்று தொகையின்  கூடுதல் 13 ஆல் வகுபடும்.<ref name="alternating-sum-of-blocks-of-three"/>
| 2,911,272: 272 − 911 + 2 = −637
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் 4 மடங்கை  மீதமுள்ள இலக்கங்களோடு கூட்ட அந்த எண் 13 ஆல் வகுபடும்.
| 637:  63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
|-
| ஓர் எண்ணின் முதல் இலக்கத்தின் 4 மடங்கை  மீதமுள்ள இலக்கங்களில் கழிக்க அந்த எண் 13 ஆல் வகுபடும்.
| 923: 9 × 4 − 23 = 13.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் 9 மடங்கை  மீதமுள்ள இலக்கங்களிலிருந்து கழிக்க அந்த எண் 13 ஆல் வகுபடும்.
| 637:  63 - 7 × 9 = 0.
|-
|id=14 rowspan=2| '''14'''
|ஓர்  எண்ணாது 2 மற்றும் 7 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 14 ஆல் வகுபடும்.<ref name="product-of-coprimes"/>
| 224: இந்த எண் 2 ஆலும் 7 ஆலும் வகுபடும்.
|-
| ஓர் எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கத்தை மீதமுள்ள எண்களின் 2 மடங்குடன் கூட்ட கிடைக்கும் எண் 14 ஆல் வகுபடும்.
| 364: 3 × 2 + 64 = 70.<br />1,764: 17 × 2 + 64 = 98.
|-
|id=15| '''15'''
| ஓர்  எண்ணாது 3 மற்றும் 5 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 15 ஆல் வகுபடும்..<ref name="product-of-coprimes"/>
| 390: இந்த எண் 3 ஆலும் 5 ஆலும் வகுபடும்.
|-
|id=16 rowspan=5| '''16 '''
|style="border-bottom: hidden;"| ஓர் எண்ணின் ஆயிரமாவது இலக்கம் இரட்டை எண்ணாகவும் கடைசி மூன்று இலக்கம் 16 ஆல் வகுபடும் எண்ணாகவும் இருந்தால் அந்த எண் 16 ஆல் வகுபடும்.
|style="border-bottom: hidden;"| 254,176: 176.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஆயிரமாவது இலக்கம் ஒற்றை  எண்ணாகவும் கடைசி மூன்று இலக்கத்துடன் 8 ன் கூட்ட கிடைக்கும்  எண் 16 ஆல் வகுபடும்.
| 3408: 408 + 8 = 416.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் மற்றும் பத்தாம் இலக்கத்துடன் மீதமுள்ள இலக்கங்களின் 4 மடங்கினை கூட்ட  கிடைக்கும் எண் 16ஆல் வகுபடும். .
| 176: 1 × 4 + 76 = 80.

1,168: 11 × 4 + 68 = 112.
|-
| ஓர் எண்ணின் கடைசி 4 இலக்கங்கள் 16 ஆல் வகுபட்டால் அந்த எண் 16 ஆல் வகுபடும்.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
| 157,648: 7,648 = 478 × 16.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் பத்தாம் இலக்கத்தின் 2 மடங்கு நூறாம் இலக்கத்தின் 4 மடங்கு மற்றும் ஆயிரமாவது இலக்கத்தின் 8 மடங்கு ஆகியவற்றின் கூடுதல் 16 இன் மடங்காகும்.
| 157,648: 7 × 8 + 6 × 4 + 4 × 2 + 8 = 96
|-
|id=17 rowspan=3| '''17'''
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் 5 மடங்கை மீதமுள்ள இலக்கங்களில் இருந்து கழிக்க அந்த எண் 17 ஆல் வகுபடும்.  
| 221:  22 − 1 × 5 = 17.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் பத்தாம் இலக்கத்தை மீதமுள்ள இலக்கத்தின் 2   இலக்கங்களில் இருந்து கழிக்க அந்த எண் 17 ஆல் வகுபடும்.
| 4,675: 46 × 2 − 75 = 17.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் 2 மடங்கை மீதமுள்ள இலக்கங்களின் 3 மடங்குடன் கூட்ட அந்த எண் 17 ஆல் வகுபடும். (10''a'' + ''b'') × 2 − 17''a'' = 3''a'' + 2''b''; 17 ஒரு [[பகா எண்]]; 2,17 [[சார்பகா முழுஎண்கள்]]; 10''a'' + ''b'' 17 ஆல் வகுபட்டால் மட்டுமே 3''a'' + 2''b'' இது 17 ஆல் வகுபடும்.)
| 4,675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1,411; 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85.
|-
|id=18| '''18'''
| ஓர்  எண்ணாது 2 மற்றும் 9 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 18 ஆல் வகுபடும்.<ref name="product-of-coprimes"/>
| 342: இந்த எண் 2 ஆலும் 9 ஆலும் வகுபடும்.
|-
|id=19 rowspan=2| '''19'''
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் இரு மடங்குடன் மீதமுள்ள இலக்கங்களின் கூடுதல் 19 ஆல் வகுபடும் (10''a'' + ''b'') × 2 − 19''a'' = ''a'' + 2''b''; இங்கு  19 பகா எண்  2, 19 சார்பகா முழுவெண்கள்; 10''a'' + ''b'' ஆல் 19 ஆல் வகுபட்டால் மட்டுமே ''a'' + 2''b'' 19 ஆல் வகுபடும்.)
| 437: 43 + 7 × 2 = 57.
|-
| ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் மற்றும் பத்தாம் இலக்கத்தின் 4 மடங்குடன் மீதமுள்ள இலக்கங்களின்  கூடுதல் 19 ஆல் வகுபடும்.
| 6,935: 69 + 35 × 4 = 209.
|-
|id=20 rowspan=3| '''20'''
| ஓர் எண்ணின் பத்தாம் இலக்கம் இரட்டை எண்ணாகவும் மேலும் 10 ஆல் வகுபட்டால் அந்த எண் 20 ஆல் வகுபடும்
| 360:ஆனது 10 ஆல் வகுபடும் மேலும் பத்தாம் இலக்கத்தில் 6 ஆனது இரட்டை எண் 
|-
|ஓர் எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கம் 20 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 20 ஆல் வகுபடும்<ref name="last-m-digits"/>
| 480: 80 ஆனது 20 ஆல் வகுபடும்.
|-
|ஓர் எண்ணாது 4 மற்றும் 5 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 20 ஆல் வகுபடும்.
| 480: இந்த எண் 2 ஆலும் 7 ஆலும் வகுபடும்.
|}

=== 21 முதல் 30 வரை ===
{| class="wikitable"
|+
! வகு எண் 
! வகுபடும் தன்மைக்கான நிபந்தனை
! எடுத்துக்காட்டுகள்
|-
| id=21 rowspan=2|'''21'''
|ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் 2 மடங்கை  மீதமுள்ள இலக்கங்களில் இருந்து கழிக்க கிடைக்கும் எண் 21 ன்  மடங்காகும் (10''a'' + ''b'') × 2 − 21''a'' = −''a'' + 2''b''; இறுதி எண்ணின் மீதியும் 10''a'' + ''b'' இன் மீதியும் சமம்.)
|168: 16 − 8 × 2 = 0.
|-
|ஓர் எண்ணாது 3 மற்றும் 7 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 21 ஆல் வகுபடும் .<ref name="product-of-coprimes"/>
|231: இந்த எண் 3 ஆலும் 7 ஆலும் வகுபடும்.
|-
|id=22| '''22'''
|ஓர்  எண்ணாது 2 மற்றும் 11 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 22 ஆல் வகுபடும்.<ref name="product-of-coprimes"/>
|352: இந்த எண் 2 ஆலும் 11 ஆலும் வகுபடும்.
|-
|id=23 rowspan=3| '''23'''
|கடைசி இலக்கத்தின் 7 மடங்குடன் மீதமுள்ள இலக்கங்களைக் கூட்டவேண்டும். 
|3,128: 312 + 8 × 7 = 368.  36 + 8 × 7 = 92.
|-
|கடைசி இரு இலக்கங்களின் மூன்று மடங்கை மற்ற இலக்கங்களுடன் கூட்ட வேண்டும்.
|1,725: 17 + 25 × 3 = 92.
|-
|கடைசி மூன்று இலக்கங்களின் இருமடங்கை மற்றவற்றிலிருந்து கழிக்க வேண்டும். 
|2,068,965: 2,068 − 965 × 2 = 138.
|-
|id=24| '''24'''
|ஓர்  எண்ணாது 3 மற்றும் 8 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 24 ஆல் வகுபடும்.<ref name="product-of-coprimes"/>
|552: இந்த எண் 3 ஆலும் 8 ஆலும் வகுபடும்.
|-
|id=25| '''25'''
|ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் பத்தாம் இலக்கம் ஆகியவை 00,25,50,75 என இருந்தால் அந்த எண் 25 ஆல் வகுபடும்.
|134,250: 50 ஆனது 25 ஆல் வகுபடும்.
|-
|id=26 rowspan=2| '''26'''
| ஓர்  எண்ணாது 2 மற்றும் 13 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 26 ஆல் வகுபடும்  <ref name="product-of-coprimes"/>
|156: இந்த எண் 2 ஆலும் 13 ஆலும் வகுபடும்.
|-
|ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் 5 மடங்கை  மீதமுள்ள இலக்கங்களின் 2 மடங்கிலிருந்து  கழிக்க கிடைக்கும் எண் 26 ன்  மடங்காகும் (52ஆனது 26 ஆல் வகுபடும்).
|1,248 : (124 ×2) - (8×5) = 208 = 26 × 8
|-
| rowspan="3" id="27" |'''27 '''
|ஓர் எண்ணின் வலமிருந்து இடமாக மூன்று மூன்று இலக்கங்களின் தொகுதிகளின் மாற்றுக் கூடுதல் 27 ஆல் வகுபடும்
|2,644,272:  2 + 644 + 272 = 918.
|-
|ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் 8 மடங்கை மீதமுள்ள இலக்கங்களிலிருந்து கழிக்க கிடைக்கும் எண் 27  இன் மடங்காகும் (81 ஆனது 27 ஆல் வகுபடும்).
|621: 62 − 1 × 8 = 54.
|-
|ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் பத்தாம் இலக்கம் ஆகியவற்றை மீதமுள்ள இலக்கங்களின் 8 மடங்கிலிருந்து  கழிக்க கிடைக்கும் எண் 27 ஆல் வகுபடும் (108 ஆனது 27 ஆல் வகுபடும்).
|6,507: 65 × 8 − 7 = 520 − 7 = 513 = 27 × 19.
|-
|id=28| '''28'''
|ஓர்  எண்ணாது 4 மற்றும்  7 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 28 ஆல் வகுபடும் ..<ref name="product-of-coprimes"/>
|140: இந்த எண் 4 ஆலும் 7ஆலும் வகுபடும்.
|-
| rowspan="3" id="29" | '''29'''
|ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் 3 மடங்கு மற்றும் மீதமுள்ள இலக்கங்களின்  கூடுதல் 29 ஆல் வகுபடும். (10''a'' + ''b'') × 3 − 29''a'' = ''a'' + 3''b''; இறுதியெண்ணின் மீதியும் 10''a'' + ''b'' இன் மீதியும் சமம்.)
|348: 34 + 8 × 3 = 58.
|-
|ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் மற்றும்  பத்தாம் இலக்கம் ஆகிய இரு இலக்கங்களின் 9 மடங்குடன்  மீதமுள்ள இலக்கத்தின் கூடுதல் 29 ஆல் வகுபடும்.
|5,510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
|-
|ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம், பத்தாம் மற்றும் நூறாம் ஆகிய் மூன்று  இலக்கங்களின் 2 மடங்கை  மீதமுள்ள இலக்கத்திலிருந்து கழிக்க அந்த எண்  29 ஆல் வகுபடும். (2,001ஆனது 29 ஆல் வகுபடும்.)
|2,086,956: 2,086 − 956 × 2 = 174.
|-
|id=30| '''30'''
|ஓர்  எண்ணாது 3 மற்றும் 10 ஆல் வகுபடும் எனில் அந்த எண் 30 ஆல் வகுபடும்.<ref name="product-of-coprimes"/>
|270: இந்த எண் 3 ஆலும் 10 ஆலும் வகுபடும்.
|}

==எடுத்துக்காட்டுகளைப் படிப்படியாக செய்தல் ==

===2 ஆல் வகுபடும்தன்மை===
* முதலில் ஓர் எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
* இந்த எண்ணில் ஒன்றாம் இலக்கத்தை மட்டும் குறிக்க வேண்டும்.
* மற்ற இலக்கங்களை நீக்கிவிடவேண்டும்.
* ஒன்றாம் இலக்கம் 2 ஆல் வகுபடுமா என முடிவு செய்ய வேண்டும்.
* அவ்வாறு 2 ஆல் வகுபடும் எனில் நாம் எடுத்துக் கொண்ட எண்ணனது 2 ஆல் வகுபடும்.

'''எடுத்துக்காட்டு'''
# 376 (கொடுக்கப்பட்ட எண் )
# <s>37</s> <u>6</u> ( ஒன்றாம் இலக்கத்தை குறிப்போம் )
# 6 ÷ 2 = 3 ( ஒன்றாம் இலக்கம் 2 ஆல் வகுபடுகிறதா என சரிபார்)
# 376 ÷ 2 = 188 (  ஒன்றாம் இலக்கம் 2 ஆல் வகுபடும்  எனில் அந்த முழு எண்ணும் 2 ஆல் வகுபடும்)

===3 அல்லது 9 ஆல் வகுபடும் தன்மை=== 
* ஓர்  எண்ணை எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
* அந்த எண்ணில் உள்ள ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் கூட்டவும்.
* அவ்வாறு கூட்டக் கிடைக்கும் எண்ணானது 3 அல்லது 9 ஆல் வகுபடுமா என முடிவு செய்ய வேண்டும்.
* எண்ணின்  இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 3 (அல்லது 9) ஆல் வகுபட்டால் மட்டுமே அந்த எண்ணை 3 அல்லது 9 ஆல் வகுக்க முடியும்.

'''எடுத்துக்காட்டு'''
# 492 (கொடுக்கபட்ட எண்)
# 4 + 9 + 2 = 15 (ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் கூட்ட வேண்டும்)
# 15 ஆனது  3 ஆல் வகுபடும். எனவே 492 இம் 3 ஆல் வகுபடும்.
#கூட்டுத்தொகை எண் பெரியதாக இருந்தால் இதே முறையை நாம் தொடர்ந்து பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்.
# 1 + 5 = 6 (15ல் உள்ள இலக்கங்களின் கூடுதல்)
# 6 ÷ 3 = 2, 3 ஆல் வகுபடுகிறது. 
# 492 ÷ 3 = 164 

===4 ஆல் வகுபடும்தன்மை===
4 ஆல் வகுபடுவதற்கான  அடிப்படை விதியானது,
*ஒரு எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களான ஒன்றாம், பத்தாம் இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட எண்ணானது  4 ஆல் வகுபட்டால், கொடுக்கப்பட்ட  எண் 4 ஆல் வகுபடும்.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>  100 என்பது 4 ஆல் வகுபடும். எனவே ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்திலும் பத்தாம் இலக்கத்திலும் பூச்சியம் இருந்தாலும் அந்த எண் 4 ஆல் வகுபடும்.

'''எடுத்துக்காட்டு'''<br>
'''பொதுவான  விதி'''
#2092 (கொடுக்கப்பட்ட எண்)
# <s>20</s> <u>92</u> 
(எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களை மட்டும்  எடுத்து கொள்வோம். மற்ற  இலக்கங்களை நீக்கவும் )
#92 ÷ 4 = 23 (92 என்ற எண் 4 ஆல் வகுபடும்)
#2092 ÷ 4 = 523 (எனவே 2092 உம் 4 ஆல் வகுபடும்.

'''இரண்டாவது வகை''' 

#6174 (கொடுக்கப்பட்ட  எண்) 
#கடைசி இலக்கம் இரட்டை எண்ணாக  உள்ளதா என சரிபார்க்க,  
# 61 <u>7</u> <u>4</u> (கடைசி 2 இலக்கங்களை மீதமுள்ள எண்ணிலிருந்து பிரிக்கவும்) 
# 4 ÷ 2 = 2 (கடைசி இலக்கத்தை 2 ஆல் வகுத்தல்) 
# 7 + 2 = 9 (கடைசி இலக்கத்தின் பாதியை இறுதி இலக்கத்துடன் சேர்க்கவும்)
# 9 இரட்டை எண்ணாக  இல்லை. ஆக 6174 ஐ 4 ஆல் வகுக்க முடியாது.

'''மூன்றாவது வகை'''

#1720 (கொடுக்கப்பட்ட  எண்)
#1720 ÷ 2 = 860 (கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை 2 ஆல் வகுக்கவும்)
#860 ÷ 2 = 430 (கிடைக்கும் எண் 2 ஆல் வகுபடுமா என பார்க்க வேண்டும்)
#1720 ÷ 4 = 430 (ஆகவே 2 ஆல் வகுபடுமானால், கொடுக்கப்பட்ட எண் 4 ஆல் வகுபடும்)

===5 ஆல் வகுபடும்தன்மை===
*ஓர் எண்ணில் உள்ள ஒன்றாம்  இலக்கம்  0 அல்லது 5  என முடிந்தால் அந்த எண் 5 ஆல் வகுபடும்  என்பதை எளிதில் அறியலாம்.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
*ஓர்   எண்ணின் ஒன்றாம்  இலக்கமானது 0 ஆக இருந்தால், 5 ஆல் வகுக்கும்ப்போது கிடைக்கக்கூடிய ஈவானது மீதமுள்ள இலக்கங்களை 2 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் கிடைக்கும். 
:எடுத்துக்காட்டாக, 40  என்ற எண் பூஜ்ஜியத்தில் முடிவடைகிறது, எனவே மீதமுள்ள இலக்கங்களை (4) எடுத்து அதை இரண்டால் பெருக்கக் கிடைப்பது 8 (4 × 2 = 8 ); இது 40 என்ற எண்ணை 5 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவாகும் (40/5 = 8).
*ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம்  இலக்கம் 5 ஆக இருந்தால், அந்த எண்ணை 5 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவைக் காண, மீதமுள்ள இலக்கங்களைக் 2 ஆல்  பெருக்கி கிடைக்கும் எண்ணுடன் ஒன்றை கூட்ட வேண்டும். 
::எடுத்துக்காட்டாக, எண் 125 என்ற எண்  5 இல் முடிவடைகிறது, எனவே மீதமுள்ள இலக்கங்களை (12) எடுத்து, அவற்றை இரண்டால் பெருக்க வேண்டும். (12 × 2 = 24) கிடைக்கும் எண்ணுடன் 1 ஐ கூட்ட வேண்டும்  (24 + 1 = 25). ஆக  125 என்ற எண்ணை  5 ஆல் வகுக்க   (125/5=25) 25 என்ற விடையானது கிடைக்கும்.

'''எடுத்துக்காட்டு'''<br>
'''ஒன்றாம்  இலக்கம் 0 ஆக'''  
#110 (கொடுக்கப்பட்ட  எண் )
#<s>11</s> <u>0</u> (ஒன்றாம் இலக்கத்தை எடுக்க எண்ணின் ஒன்றாம்  இலக்கத்தை  0 அல்லது 5 என்பதை  சரிபார்
#<s>11</s> <u>0</u>  ( மீதமுள்ள இலக்கங்களை மட்டும் எடுத்துக் கொண்டு ஒன்றாம் இலக்கத்தை  நீக்கவும்)
# 11 × 2 = 22 (கிடைத்த எண்ணை  2 ஆல் பெருக்கவும்)
# 110 ÷ 5 = 22 (கொடுக்கப்பட்ட  எண்ணை 5 ஆல் வகுத்த விடை  கிடைக்கும்)

'''ஒன்றாம் இலக்கம் 5 ஆக''' 
# 85 (கொடுக்கப்பட் எண்)
# <s>8</s> <u>5</u>  (எண்ணின் ஒன்றாம்  இலக்கத்தில்  0 அல்லது 5 என்பதைச் சரிபார்)
#<u>8</u> <s>5</s> (இது 5 ஆக இருந்தால், மீதமுள்ள இலக்கங்களை எடுத்துக்கொண்டு ஒன்றாம் இலக்கத்தை  நீக்க வேண்டும்) 
#8 × 2 = 16 (கிடைத்த எண் 8 ஐ 2 ஆல் பெருக்கவும்) 
#16 + 1 = 17 (கிடைத்த எண் 16 உடன்  1 ஐச கூட்ட வேண்டும்) 
#85 ÷ 5 = 17 (கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை 5 ஆல் வகுத்த விடை  ஆகும் )

===6 ஆல் வகுபடும் தன்மை===
6 ஆல் வகுபடும்தன்மை  என்பது ஓர் எண் 2 ஆலும் 3 ஆலும் வகுபடுமா என  கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் எளிதாக அறிந்து கொள்ளலாம்.
இது பயன்படுத்த மிகவும் எளிதானது. ஆக கொடுக்கட்ட  எண்ணை (246) ஐ [[#2 ஆல் வகுபடும்தன்மை|2 ஆல்  வகுக்கவும்]] (246 ÷ 2 = 123). பின்னர், கிடைத்த எண் 123 ஐ  [[#3 அல்லது 9 ஆல் வகுபடும் தன்மை|மூன்றால் வகுக்கவும்]].<ref name="product-of-coprimes"/>
(123 ÷ 3 = 41).  ஆக  கொடுக்கப்பட்ட எண் (246 ÷ 6 = 41). ஆறால் வகுத்த விடை  ஆகும்

'''எடுத்துக்காட்டு'''

;பொது விதி 
#324 (கொடுக்கப்பட்ட எண்) 
#324 ÷ 3 = 108 (கொடுக்கப்பட்ட எண் 3 ஆல் வகுபடுமா எனத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் )
#324 ÷ 2 = 162 அல்லது
#108 ÷ 2 = 54 (கொடுக்கப்பட்ட  எண் அல்லது முதல் எண் 324 ஆனது  2 ஆல் வகுபடுமா என்பதைப் சரிபார்)
#324 ÷ 6 = 54 ( ஆக கொடுக்கப்பட்ட எண் 6 ஆல் வகுபடும்.

== மேற்கோள்கள்==
{{Reflist}}

[[பகுப்பு:வகுத்தல் (கணிதம்)]]
[[பகுப்பு:முழு எண்கள்]]