2 இன் வர்க்கமூலம் என்பதற்கான மூலத்தைப் பார்

{{infobox non-integer number
|image              = Isosceles right triangle with legs length 1.svg
|image_caption      = The square root of 2 is equal to the length of the [[hypotenuse]] of an [[Isosceles triangle|isosceles]] [[right triangle]] with legs of length 1.
|decimal            = {{gaps|1.41421|35623|73095|0488...}}
|continued_fraction = <math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}</math>
}}

'''{{infobox non-integer number
|image              = Isosceles right triangle with legs length 1.svg
|image_caption      = The square root of 2 is equal to the length of the [[hypotenuse]] of an [[Isosceles triangle|isosceles]] [[right triangle]] with legs of length 1.
|decimal            = {{gaps|1.41421|35623|73095|0488...}}
|continued_fraction = <math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}</math>
}}

'''2 இன் வர்க்கமூலம்''' (''square root of 2'').  
<math>\sqrt{2}</math> இன் தோராய மதிப்பு 1.4142 ஆகும். இது ஒரு நேர்மறை [[மெய்யெண்]] எண்ணாகும்.   இந்த எண்ணாணது தன்னால் பெருக்கப்படும்போது, எண் 2க்கு சமம் ஆகும். அதாவது <math>\sqrt{2}</math>x <math>\sqrt{2}</math> = 2. இதை கணிதத்தில்  <math>\sqrt{2}</math> or <math>2^{1/2}</math> என  எழுதலாம். எனவே [[இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்எண்களும் |விஞ்சிய எண்]] அல்ல. தொழில்நுட்பரீதியாக, இதே பண்புடன் எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து வேறுபடுத்த, 2 இன் முதன்மை [[வர்க்கமூலம்]] என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வர்க்கமூலத்தை வடிவியல் ரீதியாக அணுகும்போது, <math>\sqrt{2}</math>என்பது ஒரு சதுரத்தின் குறுக்கே உள்ள மூலைவிட்டத்தின் நீளமாகவும்  [[அலகுச் சதுரம்|ஒரு அலகு நீளத்தினை]]  பக்கங்களைக்  கொண்டதாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டும. பித்தேகோரசு தேற்றம் என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கமனது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இது [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தேகோரசு தேற்றத்தின்]] படி ஒரு சதுரத்தில் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.சதுரத்தின் மூலைவட்டமானது சதுரத்தின் இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும்.  இது [[விகிதமுறா எண்]]ணாகும்.<ref>{{citation
<nowiki>| last = Fowler |</nowiki> first = David H.
<nowiki>|</nowiki> issue = 10
<nowiki>|</nowiki> journal = Neusis
<nowiki>|</nowiki> mr = 1891736
<nowiki>|</nowiki> pages = 45–61
<nowiki>|</nowiki> title = The story of the discovery of incommensurability, revisited
{{OEIS link|A002193}} On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
:{{gaps|1.41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799|}} இங்கே 65 தசம இடங்களாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன::<nowiki><ref></nowiki>{{Cite web|title=A002193 - OEIS|url=https://oeis.org/A002193|access-date=2020-08-10|website=oeis.org}}</ref>




==வரலாறு==
[[File:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|[[பாபிலோனியா|பாபிலோனியாவின்]] களிமண் சிற்பம் [[YBC 7289]] (<abbr><small>அண்.</small></abbr> 1800–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது  நான்கு [[பாலுணர்வு|அடிப்படை 60]] படத்தில், 1 24 51 10,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது  மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த ன் மதிப்பை தருகிறது ]]
[[பாபிலோனியா]]வின் களிமண் சிற்பம் [[YBC 7289]] ({{Circa|1800}}–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது <math>\sqrt{2}</math> நான்கு  [[பாலுணர்வு|அடிப்படை 60]]  படத்தில், {{nowrap|1 24 51 10}},இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது <ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |date=2012-08-13 }}<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref> மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த  <math>\sqrt{2}</math>ன் மதிப்பை தருகிறது.
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{305470}{216000} = 1.41421\overline{296}.</math>

[[இந்திய வரலாறு|பண்டைய இந்திய]] கணித நூல்களான சல்பசூத்திரங்களில் <math>\sqrt{2}</math>ன் மற்றொரு  தோராயமான மதிப்பு (அண். 800-200 கி.மு.) பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு  பக்கத்தின் நீளத்துடன் மூன்றில் ஒரு பங்கையும்,மேலும் 3X4 ல் ஒரு பங்கையும் சேர்த்து  அதிலிருந்து 3X4X34 ல் ஒரு பங்கை குறைக்க <math>\sqrt{2}</math> மதிப்பு கிடைக்கிறது.<ref>Henderson.</ref> அதாவது<math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}.</math>

இது பெல் எண்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக அதிகரித்து வரும் துல்லியமான தோராயங்களின் வரிசையில் ஏழாவது முறையாகும். <math>\sqrt{2}</math>  ன் மதிப்பானது தொடர்ச்சியான பின்னம் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சிறிய  பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருந்தாலும், பாபிலோனிய தோராயத்தைக் காட்டிலும் இது மிக துல்லியமானதாகும்.

ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கங்களுடன் அளவுக்கிணங்காத அளவாகும், அல்லது நவீன மொழியில் இரண்டின் வர்க்கமூலம் [[விகிதமுறா எண்]] என்று [[பித்தாகரசு]] கண்டுபிடித்தார். இந்த கண்டுபிடிப்பின்  சூழ்நிலைகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஆனால் மெட்டாபொன்டமை சேர்ந்த ஹிப்பாசஸின் பெயர் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலம் [[விகிதமுறா எண்]] என்பதைக் கண்டுபிடித்ததை [[பித்தாகரசு]]  ஒரு அதிகாரப்பூர்வ ரகசியமாகக் கருதி வந்தார். ஹிப்பாசஸ் என்பார் கணித  துறையில் பெரும் புகழ் வாய்ந்தவர் ஆவார், ஹிப்பாசஸ்  [[பித்தாகரசு|பித்தாகரசின் ரகசிய]]<nowiki/>த்தை வெளிப்படுத்தியதற்காக கொலை செய்யப்பட்டார். இரண்டின் வர்க்கமூலமானது எப்போதாவது [[பித்தாகரசு|பித்தகோரஸின்]] எண் அல்லது [[பித்தாகரசு|பித்தகோரஸின்]] மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக {{harvtxt|Conway|Guy|1996}}.<ref name=":1">{{citation|last1=Conway|first1=John H.|author1-link=John H. Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=Richard K. Guy|page=25|publisher=Copernicus|title=The Book of Numbers|year=1996}}</ref>.

==== பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலை ====
பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலையில், [[மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ|விட்ருவியஸ்]]  பொறியாளர் 2 ன் வர்க்கமூலத்தை பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறார் மேலும் ''Ad Quadratum என்ற இடைக்கால'' கட்டிடக்கலை நுட்பத்தில் வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறது. இது அடிப்படையில் ஒரலகு சதுரத்தின் பக்க அளவின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும் என்ற  வடிவியல் முறையைக் கொண்டுள்ளது.  [[மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ|விட்ருவியஸ்]] <math>\sqrt{2}</math>  ன் பண்புகளை [[பிளேட்டோ|பிளாட்டோவுக்குக்]] ஒரு யோசனையாக கூறுகிறார். ஒரு சதுரத்தின் மூலைகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு [[தொடுகோடு|தொடுகோட்டை]] உருவாக்குவதன் மூலம் நடைபாதைகளை உருவாக்க இந்த அமைப்பு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சதுரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டத்திற்குச் சமமான நீளத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் வீட்டு முற்றத்தை வடிவமைக்க இந்த விகிதம் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட வீட்டு முற்றதின் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்கும்..<ref name=":2">{{Cite book|title=Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s|last1=Williams|first1=Kim|author1-link=Kim Williams (architect)|last2=Ostwald|first2=Michael|publisher=Birkhäuser|year=2015|isbn=9783319001371|pages=204}}</ref>



== தசம மதிப்பு ==

=== கணக்கீட்டு வழிமுறைகள் ===
மேலும் தகவல்களுக்கு: வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்

<math>\sqrt{2}</math>ன்  தோராயமான மதிப்புகளை அறிந்திட [[படிமுறைத் தீர்வு|படிமுறைத் தீர்வுகள்]] பல உள்ளன முழு எண்களின் விகிதங்கள் அல்லது தசம எண் ஆகும். இதற்கான மிகவும் பொதுவான  [[படிமுறைத் தீர்வு]]<nowiki/>வானது  கணினிகள் மற்றும் [[கணிப்பான்|கணிப்பான்களில்]] அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பாபிலோனிய முறை ஆகும், இது விதிக்கட்டின்றி சார்புகளின் வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக

முதலில், ஒரு யூகத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள்,<math>a_0 > 0</math>; ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தின் தோராயத்தை அடைய எத்தனை மறு செய்கைகள் தேவை என்பதை மட்டுமே யூகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கிறது. பின்னர், அந்த யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சுழல்நிலை கணக்கீட்டின் மூலம் மீண்டும் செய்யவும்:

<math>a_{n+1} = \frac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>

ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் தோராயத்தை மேம்படுத்துகிறது, சரியான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக இரட்டிப்பாக்குகிறது.   <math>a_0=1</math>  என தொடங்கி, அடுத்தடுத்த மறு செய்கைகள் பலனளிக்கின்றன:

<math>\begin{alignat}{3}
a_1 &= \tfrac{3}{2} &&= \mathbf{1}.5, \\[3mu]
a_2 &= \tfrac{17}{12} &&= \mathbf{1.41}6\ldots, \\[3mu]
a_3 &= \tfrac{577}{408} &&= \mathbf{1.41421}5\ldots, \\[3mu]
a_4 &= \tfrac{665857}{470832} &&= \mathbf{1.41421356237}46\ldots, \\[3mu]
    &\qquad \vdots
\end{alignat}</math>

=== விகிதமுறு தோராயங்கள் ===
:
ஒரு எளிய விகிதமுறு தோராயமான மதிப்பு {{sfrac|99|70}} (≈ '''1.4142'''857) என்பது சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 70 என்ற பகுதியினை மட்டுமே கொண்டிருந்தாலும், அது சரியான மதிப்பிலிருந்து குறைவாக வேறுபடுகிறது {{sfrac|1|10,000}} (தோராய. {{val|-0.72e-4}}) அடுத்த இரண்டு சிறந்த விகிதமுறு தோராயங்கள் {{sfrac|140|99}} (≈ '''1.414'''1414...) சிறிய பிழையுடன் (தோராயமாக -0.72×10−4), மற்றும் {{sfrac|239|169}} (≈ '''1.4142'''012) தோராயமாக சிறிய பிழையுடன் −0.12×10−4 .  பாபிலோனிய முறையின் நான்கு மறு செய்கைகளிலிருந்து பெறப்பட்ட இரண்டின் வர்க்க மூலத்தின் விகிதமுறு தோராயமானது  {{math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 1}} ({{sfrac|665,857|470,832}})  சுமார் {{val|1.6e-12}}; இது  மிக பெரியது; அதன் வர்க்க மதிப்பு  ≈&thinsp;{{val|2.0000000000045}}.

=== கணக்கீட்டு பதிவுகள் ===
1997 ஆம் ஆண்டில் , <math>\sqrt{2}</math> ன் மதிப்பு 137,438,953,444 தசம இடங்களுக்கு யசுமாசா கனடாவின் குழுவால் கணக்கிடப்பட்டது.  2006 ஆம் ஆண்டில் பிப்ரவரி மாத்த்தில் , <math>\sqrt{2}</math>  ன் கணக்கீட்டிற்கான பதிவு ஒரு வீட்டுக் கணிப்பொறியைப் பயன்படுத்தி கிரகணம் தொடும்  தசம இடங்களுக்கு கணக்கிடப்பட்டது. ஷிகெரு கோண்டோ 2010 ஆம் ஆண்டில் ஒரு டிரில்லியன் தசம இடங்களைக் கணக்கிட்டார்.<ref name=":3">{{cite web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html|title=Constants and Records of Computation|publisher=Numbers.computation.free.fr|date=2010-08-12|access-date=2012-09-07|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20120301190937/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html|archive-date=2012-03-01}}</ref> கணக்கீட்டு ரீதியாக சவாலான தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்ட கணித மாறிலிகளில், π, e மற்றும் தங்க விகிதம் மட்டுமே  2022 ஆம் ஆண்டில் மார்ச்சு மாதம் மிகவும் துல்லியமாக கணக்கிடப்பட்டது. இத்தகைய கணக்கீடுகள், அத்தகைய எண்கள் இயல்பானவையா என்பதை அனுபவபூர்வமாகச் சரிபார்க்கும் நோக்கம் கொண்டது.

கீழ்கண்ட அட்டவணையானது <math>\sqrt{2}</math> ன் மதிப்புளைக் கணக்கிடுவதில் சமீபத்திய பதிவுகளை கொண்டது.<ref name="y-cruncher">{{cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=2022-04-07|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407052022/http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|archive-date=2022-04-07}}</ref>
{| class="wikitable sortable"
|-
! data-sort-type="usLongDate" | தேதி !! பெயர் !! data-sort-type="number" | தசம இடங்களின் எண்ணிக்கை
|-
|style="text-align:right;" | சனவரி 5, 2022 || data-sort-value="H" | டிஜியன் ஹான்சல்மேன் || style="text-align:right;" | {{val|10000000001000}}
|-
|style="text-align:right;" | சூன் 28, 2016 || data-sort-value="W" | ரான் வாட்கின்ஸ் || style="text-align:right;" | {{val|10000000000000}}
|-
|style="text-align:right;" | ஏப்ரல் 3, 2016 || data-sort-value="W" | ரான் வாட்கின்ஸ் || style="text-align:right;" | {{val|5000000000000}}
|-
|style="text-align:right;" | சனவரி 20, 2016 || data-sort-value="W" | ரான் வாட்கின்ஸ் || style="text-align:right;" | {{val|2000000000100}}
|-
|style="text-align:right;" | பிப்ரவரி 9, 2012 || data-sort-value="Y" | அலெக்சாண்டர் யீ || style="text-align:right;" | {{val|2000000000050}}
|-
|style="text-align:right;" | மார்ச் 22, 2010 || data-sort-value="K" | ஷிகெரு கொண்டோ || style="text-align:right;" |
|}

=== விகிதமுறாமைக்கான நிரூபணம் ===
விகிதமுறாமைக்கான ஒரு சிறிய நிரூபணமானது <math>\sqrt{2}</math> ஐ [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா]] மூல தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம், அதாவது  <math>p(x)</math> என்பது முழு எண் [[கெழு]]<nowiki/>க்ளைக் கொண்ட ஒரு ஓருறுப்புக்கோவை ஆகும், பின்னர் எந்த [[விகிதமுறாமூலம்|விகிதமுறா மூலமும்]] <math>\sqrt{2}</math> என்பது ஒரு முழு எண். பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இதைப் பயன்படுத்துதல் <math>p(x)=x^2-2</math>, அது பின்வருமாறு <math>\sqrt{2}</math>  ஒரு முழு எண் அல்லது விகிதமுறா எண் ஆகும். ஏனெனில்<math>\sqrt{2}</math>  ஒரு முழு எண் அல்ல (2 என்பது முழு வர்க்கம் அல்ல).<math>\sqrt{2}</math> விகிதமுறா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஒரு  முழு வர்க்கம் இல்லாத எந்த இயல் எண்ணின் எந்த வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண்ணா என்பதைக் காட்ட இந்த  பொதுமையான நிரூபணமாகும்.

எந்த ஒரு [[முழு எண்]]  அல்லாத [[இயல் எண்|இயல் எண்ணின்]] வர்க்க மூலமும் [[விகிதமுறா எண்]] என்பதற்கான மற்ற நிரூபணங்ளுக்கு, இருபடி [[விகிதமுறா எண்]]<nowiki/>னைக் காண்க.



=== முடிவிலி இறக்க  நிறுவல் ===
முடிவிலி இறக்க  நிறுவல் மூலம் விகிதமுறாவின்மை எண்களின் ஒரு நிரூபணமாகும். ஒரு நிராகரிப்புக்கான சான்றாகவும் உள்ளது: இது"<math>\sqrt{2}</math> விகிதமுறு எண்  அல்ல" என்ற கூற்றை விகிதமுறு என்று கருதி பின்னர் ஒரு தவறு என பெறுவதன் மூலம் நிரூபிக்கிறது.

1.<math>\sqrt{2}</math>  என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்று எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது ஒரு ஜோடி முழு எண்கள் உள்ளன, <math>\sqrt{2}</math> ன் விகிதம் சரியாக இருக்கும்.

2. இரண்டு முழு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி இருந்தால், அதை யூக்ளிடியன் [[படிமுறைத் தீர்வு]] பயன்படுத்தி நீக்கலாம்.  

3. பிறகு <math>\sqrt{2}</math> குறைக்க முடியாத <math>\frac{a}{b}</math>  பின்னமாக எழுதலாம் a மற்றும் b ஆகியவை பகு எண் (பொதுவான காரணி இல்லாதது) அதாவது a அல்லது b இல் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒன்று ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும்.

4. அதைத் தொடர்ந்து <math>\frac{a^2}{b^2}=2</math> மற்றும் <math>a^2=2b^2</math> {{math|[[Exponent#Identities and properties|({{sfrac|''a''|''b''}}){{sup|''n''}} {{=}} {{sfrac|''a''{{sup|''n''}}|''b''{{sup|''n''}}}}]]}}  ( {{math|''a''{{sup|2}} மற்றும் ''b''{{sup|2}}}} முழுக்களாகும்)

5. ''a''<sup>2</sup> என்பது இரட்டை அதனால் 2''b''<sup>2</sup> க்கு சம்ம் ஆகும் .ஏனென்றால்   2''b''<sup>2</sup> (2''b''<sup>2</sup>  மற்றொரு முழு எண்ணாக இருந்தாலும் கூட அவசியம்  2 ன் மடங்கு ஆகும் .)

6. அதைத் தொடர்ந்து {{math|''a''}} இரட்டையாக இருக்க வேண்டும் (ஒற்றைமுழுக்களின் வர்க்கங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக இருக்கும்.)

7. {{math|''a''}} என்பது இரட்டையாக இருப்பதால்,  ஆதையால் முழு எண் {{math|''k''}} என்பது  <math>a = 2k</math> பூர்த்தி செய்யும் உள்ளது.

8. படி 7 இலிருந்து  {{math|2''k''}} க்கு பதிலாக {{math|''a''}}  என  இரண்டாவது சமன்பாட்டில்  படி 4 ல்:  <math>2b^2 = a^2 = (2k)^2 = 4k^2</math> உள்ளது. அது  <math>b^2=2k^2</math> க்கு சம்மாகும்.

9. {{math|2''k''{{sup|2}}}}  இரண்டால் வகுபடுவதால் இரட்டை ஆகும். ஆனால் <math>2k^2=b^2</math> இதன் படி {{math|''b''{{sup|2}}}} ம் இரட்டை,அதாவது {{math|''b''}} என்பது இரட்டை ஆகும். 

10. படிகள் 5 மற்றும் 8 மூலம், {{math|''a''}} மற்றும் {{math|''b''}} இரண்டும் சமமாக இருக்கும், இது படி 3 க்கு முரணானது (அதாவது <math>\frac{a}{b}</math> விகிதமுறா எண்ணாகும்) 

நாம் ஒரு முரண்பாடைப் பெற்றிருப்பதால், அனுமானம் (1) அது <math>\sqrt{2}</math> என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்பது தவறாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் <math>\sqrt{2}</math>  ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல; அதாவது,<math>\sqrt{2}</math> விகிதமுறா எண்ணாகும் .  

இந்த நிரூபணம் [[அரிசுட்டாட்டில்]], அவரது  முந்தைய பகுப்பாராய்ச்சி முறை வடிவியல் §I.23 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது..<ref name=":4">All that Aristotle says, while writing about [[Proof by contradiction|proofs by contradiction]], is that "the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate".</ref>  இது [[யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ்]], புத்தக X இன் 117வது முன்மொழிவாக, முழு நிரூபணமும் முதலில் தோன்றியது. இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து, வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த நிரூபணம் யூக்ளிட்டுக்கு ஒரு இடைச்செருகல் மற்றும் காரணம் கற்பித்தல் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.<ref name=":5">The edition of the Greek text of the ''Elements'' published by E. F. August in [[Berlin]] in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with [[Johan Ludvig Heiberg (historian)|J. L. Heiberg's]] edition (1883–1888).</ref>

===தனித்துவமான காரணிபடுத்தல் மூலம் நிரூபணம்===
முடிவிலி இறக்க நிறுவதைப் போலவே, நாங்கள் பெறுகிறோம்
<math>a^2 = 2b^2</math>. இருபுறமும் சமமாக  இருப்பதால், ஒவ்வொரு பக்கமும் [[எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்|எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்]] மூலம் ஒரே பகாகாரணிப்படுத்துதல் கொண்டுள்ளது. மேலும் குறிப்பாக, காரணிகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட வேண்டும். இருப்பினும், வலதுபுறத்தில் காரணிகள் 2×b×b என ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் தோன்றும், ஆனால் இடதுபுறத்தில் காரணிகள் a×a என இரட்டை எண்ணிக்கையில் தோன்றும் - இதுவே ஒரு முரண்பாடு ஆகும்.

==இவற்றையும் பார்க்க==
*[[List of mathematical constants]]
*[[Square root of 3]], {{math|{{sqrt|3}}}}
* [[Square root of 5]], {{math|{{sqrt|5}}}}
*[[Gelfond–Schneider constant]], {{math|2<sup>{{sqrt|2}}</sup>}}
* [[Silver ratio]], {{math|1 + {{sqrt|2}}}}

{{clear}}
==குறிப்பு==
{{Reflist|25em}}

==மேற்கோள்கள் ==
* {{Citation
 | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol
 | doi = 10.2307/2695741
 | issue = 9
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | pages = 841–842
 | title = Irrationality of the square root of two – A geometric proof
 | volume = 107
 | year = 2000
 | jstor = 2695741}}.
* {{Citation | author = Aristotle | author-link = Aristotle | title = [[Prior Analytics|Analytica priora]] | year = 2007 | publisher = eBooks@Adelaide}}
* Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
* {{Citation
 | last = Flannery | first = David
 | isbn = 0-387-20220-X
 | publisher = Springer-Verlag
 | title = The Square Root of Two
 | year = 2005}}.
* {{Citation
 |last1        = Fowler
 |first1       = David
 |author1-link = David Fowler (mathematician)
 |last2        = Robson
 |first2       = Eleanor
 |author2-link = Eleanor Robson
 |doi          = 10.1006/hmat.1998.2209
 |issue        = 4
 |journal      = Historia Mathematica
 |pages        = 366–378
 |title        = Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context
 |volume       = 25
 |year         = 1998
|doi-access= free
 }}.
* {{Citation
 | doi = 10.2307/2344040
 | last1 = Good | first1 = I. J. | author1-link = I. J. Good
 | last2 = Gover | first2 = T. N.
 | issue = 1
 | journal = Journal of the Royal Statistical Society, Series A
 | pages = 102–107
 | title = The generalized serial test and the binary expansion of <math>\sqrt{2}</math>
 | volume = 130
 | year = 1967
 | jstor = 2344040}}.
* {{Citation
 | last = Henderson | first = David W.
 | contribution = Square roots in the Śulba Sūtras
 | editor-last = Gorini | editor-first = Catherine A.
 | isbn = 978-0-88385-164-7
 | pages = 39–45
 | publisher = Cambridge University Press
 | title = Geometry At Work: Papers in Applied Geometry
 | url = http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html
 | year = 2000}}.

==வெளி இணைப்புகள் ==
* {{Citation
 | last1 = Gourdon | first1 = X.
 | last2 = Sebah | first2 = P.
 | contribution = Pythagoras' Constant: <math>\sqrt{2}</math>
 | title = Numbers, Constants and Computation
 | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html
 | year = 2001}}.
* [https://www.gutenberg.org/ebooks/129 The Square Root of Two to 5 million digits] by Jerry Bonnell and [[Robert J. Nemiroff]]. May, 1994.
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Square root of 2 is irrational], a collection of proofs
* {{cite web|last=Grime|first=James|title=The Square Root <math>\sqrt{2}</math> of Two|url=http://www.numberphile.com/videos/root2.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|author2=Bowley, Roger }}
* [http://pisearch.org/sqrt2 {{radic|2}} Search Engine] 2 billion searchable digits of {{radic|2}}, {{pi}} and {{mvar|e}}
{{Algebraic numbers}}
{{Irrational number}}
{{Authority control}}


[[பகுப்பு:இருபடி விகிதமுறா எண்கள்]]
[[பகுப்பு:கணித நிறுவல்கள்]]
[[பகுப்பு:கணிதக் குறியீடுகள்]]

[[பகுப்பு:குறியீடுகள்]]
''' (''square root of 2'').  
<math>\sqrt{2}</math> இன் தோராய மதிப்பு 1.4142 ஆகும். இது ஒரு நேர்மறை [[மெய்யெண்]] எண்ணாகும்.   இந்த எண்ணாணது தன்னால் பெருக்கப்படும்போது, எண் 2க்கு சமம் ஆகும். அதாவது <math>\sqrt{2}</math>x <math>\sqrt{2}</math> = 2. இதை கணிதத்தில்  <math>\sqrt{2}</math> or <math>2^{1/2}</math> என  எழுதலாம். எனவே [[இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்எண்களும் |விஞ்சிய எண்]] அல்ல. தொழில்நுட்பரீதியாக, இதே பண்புடன் எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து வேறுபடுத்த, 2 இன் முதன்மை [[வர்க்கமூலம்]] என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வர்க்கமூலத்தை வடிவியல் ரீதியாக அணுகும்போது, <math>\sqrt{2}</math>என்பது ஒரு சதுரத்தின் குறுக்கே உள்ள மூலைவிட்டத்தின் நீளமாகவும்  [[அலகுச் சதுரம்|ஒரு அலகு நீளத்தினை]]  பக்கங்களைக்  கொண்டதாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டும. பித்தேகோரசு தேற்றம் என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கமனது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இது [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தேகோரசு தேற்றத்தின்]] படி ஒரு சதுரத்தில் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.சதுரத்தின் மூலைவட்டமானது சதுரத்தின் இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும்.  இது [[விகிதமுறா எண்]]ணாகும்.<ref>{{citation
<nowiki>| last = Fowler |</nowiki> first = David H.
<nowiki>|</nowiki> issue = 10
<nowiki>|</nowiki> journal = Neusis
<nowiki>|</nowiki> mr = 1891736
<nowiki>|</nowiki> pages = 45–61
<nowiki>|</nowiki> title = The story of the discovery of incommensurability, revisited
{{OEIS link|A002193}} On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
:{{gaps|1.41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799|}} இங்கே 65 தசம இடங்களாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன::<nowiki><ref></nowiki>{{Cite web|title=A002193 - OEIS|url=https://oeis.org/A002193|access-date=2020-08-10|website=oeis.org}}</ref>




==வரலாறு==
[[File:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|[[பாபிலோனியா|பாபிலோனியாவின்]] களிமண் சிற்பம் [[YBC 7289]] (<abbr><small>அண்.</small></abbr> 1800–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது  நான்கு [[பாலுணர்வு|அடிப்படை 60]] படத்தில், 1 24 51 10,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது  மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த ன் மதிப்பை தருகிறது ]]
[[பாபிலோனியா]]வின் களிமண் சிற்பம் [[YBC 7289]] ({{Circa|1800}}–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது <math>\sqrt{2}</math> நான்கு  [[பாலுணர்வு|அடிப்படை 60]]  படத்தில், {{nowrap|1 24 51 10}},இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது <ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |date=2012-08-13 }}<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref> மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த  <math>\sqrt{2}</math>ன் மதிப்பை தருகிறது.
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{305470}{216000} = 1.41421\overline{296}.</math>

[[இந்திய வரலாறு|பண்டைய இந்திய]] கணித நூல்களான சல்பசூத்திரங்களில் <math>\sqrt{2}</math>ன் மற்றொரு  தோராயமான மதிப்பு (அண். 800-200 கி.மு.) பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு  பக்கத்தின் நீளத்துடன் மூன்றில் ஒரு பங்கையும்,மேலும் 3X4 ல் ஒரு பங்கையும் சேர்த்து  அதிலிருந்து 3X4X34 ல் ஒரு பங்கை குறைக்க <math>\sqrt{2}</math> மதிப்பு கிடைக்கிறது.<ref>Henderson.</ref> அதாவது<math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}.</math>

இது பெல் எண்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக அதிகரித்து வரும் துல்லியமான தோராயங்களின் வரிசையில் ஏழாவது முறையாகும். <math>\sqrt{2}</math>  ன் மதிப்பானது தொடர்ச்சியான பின்னம் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சிறிய  பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருந்தாலும், பாபிலோனிய தோராயத்தைக் காட்டிலும் இது மிக துல்லியமானதாகும்.

ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கங்களுடன் அளவுக்கிணங்காத அளவாகும், அல்லது நவீன மொழியில் இரண்டின் வர்க்கமூலம் [[விகிதமுறா எண்]] என்று [[பித்தாகரசு]] கண்டுபிடித்தார். இந்த கண்டுபிடிப்பின்  சூழ்நிலைகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஆனால் மெட்டாபொன்டமை சேர்ந்த ஹிப்பாசஸின் பெயர் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலம் [[விகிதமுறா எண்]] என்பதைக் கண்டுபிடித்ததை [[பித்தாகரசு]]  ஒரு அதிகாரப்பூர்வ ரகசியமாகக் கருதி வந்தார். ஹிப்பாசஸ் என்பார் கணித  துறையில் பெரும் புகழ் வாய்ந்தவர் ஆவார், ஹிப்பாசஸ்  [[பித்தாகரசு|பித்தாகரசின் ரகசிய]]<nowiki/>த்தை வெளிப்படுத்தியதற்காக கொலை செய்யப்பட்டார். இரண்டின் வர்க்கமூலமானது எப்போதாவது [[பித்தாகரசு|பித்தகோரஸின்]] எண் அல்லது [[பித்தாகரசு|பித்தகோரஸின்]] மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக {{harvtxt|Conway|Guy|1996}}.<ref name=":1">{{citation|last1=Conway|first1=John H.|author1-link=John H. Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=Richard K. Guy|page=25|publisher=Copernicus|title=The Book of Numbers|year=1996}}</ref>.

==== பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலை ====
பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலையில், [[மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ|விட்ருவியஸ்]]  பொறியாளர் 2 ன் வர்க்கமூலத்தை பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறார் மேலும் ''Ad Quadratum என்ற இடைக்கால'' கட்டிடக்கலை நுட்பத்தில் வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறது. இது அடிப்படையில் ஒரலகு சதுரத்தின் பக்க அளவின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும் என்ற  வடிவியல் முறையைக் கொண்டுள்ளது.  [[மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ|விட்ருவியஸ்]] <math>\sqrt{2}</math>  ன் பண்புகளை [[பிளேட்டோ|பிளாட்டோவுக்குக்]] ஒரு யோசனையாக கூறுகிறார். ஒரு சதுரத்தின் மூலைகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு [[தொடுகோடு|தொடுகோட்டை]] உருவாக்குவதன் மூலம் நடைபாதைகளை உருவாக்க இந்த அமைப்பு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சதுரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டத்திற்குச் சமமான நீளத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் வீட்டு முற்றத்தை வடிவமைக்க இந்த விகிதம் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட வீட்டு முற்றதின் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்கும்..<ref name=":2">{{Cite book|title=Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s|last1=Williams|first1=Kim|author1-link=Kim Williams (architect)|last2=Ostwald|first2=Michael|publisher=Birkhäuser|year=2015|isbn=9783319001371|pages=204}}</ref>



== தசம மதிப்பு ==

=== கணக்கீட்டு வழிமுறைகள் ===
மேலும் தகவல்களுக்கு: வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்

<math>\sqrt{2}</math>ன்  தோராயமான மதிப்புகளை அறிந்திட [[படிமுறைத் தீர்வு|படிமுறைத் தீர்வுகள்]] பல உள்ளன முழு எண்களின் விகிதங்கள் அல்லது தசம எண் ஆகும். இதற்கான மிகவும் பொதுவான  [[படிமுறைத் தீர்வு]]<nowiki/>வானது  கணினிகள் மற்றும் [[கணிப்பான்|கணிப்பான்களில்]] அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பாபிலோனிய முறை ஆகும், இது விதிக்கட்டின்றி சார்புகளின் வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக

முதலில், ஒரு யூகத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள்,<math>a_0 > 0</math>; ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தின் தோராயத்தை அடைய எத்தனை மறு செய்கைகள் தேவை என்பதை மட்டுமே யூகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கிறது. பின்னர், அந்த யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சுழல்நிலை கணக்கீட்டின் மூலம் மீண்டும் செய்யவும்:

<math>a_{n+1} = \frac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>

ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் தோராயத்தை மேம்படுத்துகிறது, சரியான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக இரட்டிப்பாக்குகிறது.   <math>a_0=1</math>  என தொடங்கி, அடுத்தடுத்த மறு செய்கைகள் பலனளிக்கின்றன:

<math>\begin{alignat}{3}
a_1 &= \tfrac{3}{2} &&= \mathbf{1}.5, \\[3mu]
a_2 &= \tfrac{17}{12} &&= \mathbf{1.41}6\ldots, \\[3mu]
a_3 &= \tfrac{577}{408} &&= \mathbf{1.41421}5\ldots, \\[3mu]
a_4 &= \tfrac{665857}{470832} &&= \mathbf{1.41421356237}46\ldots, \\[3mu]
    &\qquad \vdots
\end{alignat}</math>

=== விகிதமுறு தோராயங்கள் ===
:
ஒரு எளிய விகிதமுறு தோராயமான மதிப்பு {{sfrac|99|70}} (≈ '''1.4142'''857) என்பது சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 70 என்ற பகுதியினை மட்டுமே கொண்டிருந்தாலும், அது சரியான மதிப்பிலிருந்து குறைவாக வேறுபடுகிறது {{sfrac|1|10,000}} (தோராய. {{val|-0.72e-4}}) அடுத்த இரண்டு சிறந்த விகிதமுறு தோராயங்கள் {{sfrac|140|99}} (≈ '''1.414'''1414...) சிறிய பிழையுடன் (தோராயமாக -0.72×10−4), மற்றும் {{sfrac|239|169}} (≈ '''1.4142'''012) தோராயமாக சிறிய பிழையுடன் −0.12×10−4 .  பாபிலோனிய முறையின் நான்கு மறு செய்கைகளிலிருந்து பெறப்பட்ட இரண்டின் வர்க்க மூலத்தின் விகிதமுறு தோராயமானது  {{math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 1}} ({{sfrac|665,857|470,832}})  சுமார் {{val|1.6e-12}}; இது  மிக பெரியது; அதன் வர்க்க மதிப்பு  ≈&thinsp;{{val|2.0000000000045}}.

=== கணக்கீட்டு பதிவுகள் ===
1997 ஆம் ஆண்டில் , <math>\sqrt{2}</math> ன் மதிப்பு 137,438,953,444 தசம இடங்களுக்கு யசுமாசா கனடாவின் குழுவால் கணக்கிடப்பட்டது.  2006 ஆம் ஆண்டில் பிப்ரவரி மாத்த்தில் , <math>\sqrt{2}</math>  ன் கணக்கீட்டிற்கான பதிவு ஒரு வீட்டுக் கணிப்பொறியைப் பயன்படுத்தி கிரகணம் தொடும்  தசம இடங்களுக்கு கணக்கிடப்பட்டது. ஷிகெரு கோண்டோ 2010 ஆம் ஆண்டில் ஒரு டிரில்லியன் தசம இடங்களைக் கணக்கிட்டார்.<ref name=":3">{{cite web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html|title=Constants and Records of Computation|publisher=Numbers.computation.free.fr|date=2010-08-12|access-date=2012-09-07|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20120301190937/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html|archive-date=2012-03-01}}</ref> கணக்கீட்டு ரீதியாக சவாலான தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்ட கணித மாறிலிகளில், π, e மற்றும் தங்க விகிதம் மட்டுமே  2022 ஆம் ஆண்டில் மார்ச்சு மாதம் மிகவும் துல்லியமாக கணக்கிடப்பட்டது. இத்தகைய கணக்கீடுகள், அத்தகைய எண்கள் இயல்பானவையா என்பதை அனுபவபூர்வமாகச் சரிபார்க்கும் நோக்கம் கொண்டது.

கீழ்கண்ட அட்டவணையானது <math>\sqrt{2}</math> ன் மதிப்புளைக் கணக்கிடுவதில் சமீபத்திய பதிவுகளை கொண்டது.<ref name="y-cruncher">{{cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=2022-04-07|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407052022/http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|archive-date=2022-04-07}}</ref>
{| class="wikitable sortable"
|-
! data-sort-type="usLongDate" | தேதி !! பெயர் !! data-sort-type="number" | தசம இடங்களின் எண்ணிக்கை
|-
|style="text-align:right;" | சனவரி 5, 2022 || data-sort-value="H" | டிஜியன் ஹான்சல்மேன் || style="text-align:right;" | {{val|10000000001000}}
|-
|style="text-align:right;" | சூன் 28, 2016 || data-sort-value="W" | ரான் வாட்கின்ஸ் || style="text-align:right;" | {{val|10000000000000}}
|-
|style="text-align:right;" | ஏப்ரல் 3, 2016 || data-sort-value="W" | ரான் வாட்கின்ஸ் || style="text-align:right;" | {{val|5000000000000}}
|-
|style="text-align:right;" | சனவரி 20, 2016 || data-sort-value="W" | ரான் வாட்கின்ஸ் || style="text-align:right;" | {{val|2000000000100}}
|-
|style="text-align:right;" | பிப்ரவரி 9, 2012 || data-sort-value="Y" | அலெக்சாண்டர் யீ || style="text-align:right;" | {{val|2000000000050}}
|-
|style="text-align:right;" | மார்ச் 22, 2010 || data-sort-value="K" | ஷிகெரு கொண்டோ || style="text-align:right;" |
|}

=== விகிதமுறாமைக்கான நிரூபணம் ===
விகிதமுறாமைக்கான ஒரு சிறிய நிரூபணமானது <math>\sqrt{2}</math> ஐ [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா]] மூல தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம், அதாவது  <math>p(x)</math> என்பது முழு எண் [[கெழு]]<nowiki/>க்ளைக் கொண்ட ஒரு ஓருறுப்புக்கோவை ஆகும், பின்னர் எந்த [[விகிதமுறாமூலம்|விகிதமுறா மூலமும்]] <math>\sqrt{2}</math> என்பது ஒரு முழு எண். பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இதைப் பயன்படுத்துதல் <math>p(x)=x^2-2</math>, அது பின்வருமாறு <math>\sqrt{2}</math>  ஒரு முழு எண் அல்லது விகிதமுறா எண் ஆகும். ஏனெனில்<math>\sqrt{2}</math>  ஒரு முழு எண் அல்ல (2 என்பது முழு வர்க்கம் அல்ல).<math>\sqrt{2}</math> விகிதமுறா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஒரு  முழு வர்க்கம் இல்லாத எந்த இயல் எண்ணின் எந்த வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண்ணா என்பதைக் காட்ட இந்த  பொதுமையான நிரூபணமாகும்.

எந்த ஒரு [[முழு எண்]]  அல்லாத [[இயல் எண்|இயல் எண்ணின்]] வர்க்க மூலமும் [[விகிதமுறா எண்]] என்பதற்கான மற்ற நிரூபணங்ளுக்கு, இருபடி [[விகிதமுறா எண்]]<nowiki/>னைக் காண்க.



=== முடிவிலி இறக்க  நிறுவல் ===
முடிவிலி இறக்க  நிறுவல் மூலம் விகிதமுறாவின்மை எண்களின் ஒரு நிரூபணமாகும். ஒரு நிராகரிப்புக்கான சான்றாகவும் உள்ளது: இது"<math>\sqrt{2}</math> விகிதமுறு எண்  அல்ல" என்ற கூற்றை விகிதமுறு என்று கருதி பின்னர் ஒரு தவறு என பெறுவதன் மூலம் நிரூபிக்கிறது.

1.<math>\sqrt{2}</math>  என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்று எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது ஒரு ஜோடி முழு எண்கள் உள்ளன, <math>\sqrt{2}</math> ன் விகிதம் சரியாக இருக்கும்.

2. இரண்டு முழு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி இருந்தால், அதை யூக்ளிடியன் [[படிமுறைத் தீர்வு]] பயன்படுத்தி நீக்கலாம்.  

3. பிறகு <math>\sqrt{2}</math> குறைக்க முடியாத <math>\frac{a}{b}</math>  பின்னமாக எழுதலாம் a மற்றும் b ஆகியவை பகு எண் (பொதுவான காரணி இல்லாதது) அதாவது a அல்லது b இல் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒன்று ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும்.

4. அதைத் தொடர்ந்து <math>\frac{a^2}{b^2}=2</math> மற்றும் <math>a^2=2b^2</math> {{math|[[Exponent#Identities and properties|({{sfrac|''a''|''b''}}){{sup|''n''}} {{=}} {{sfrac|''a''{{sup|''n''}}|''b''{{sup|''n''}}}}]]}}  ( {{math|''a''{{sup|2}} மற்றும் ''b''{{sup|2}}}} முழுக்களாகும்)

5. ''a''<sup>2</sup> என்பது இரட்டை அதனால் 2''b''<sup>2</sup> க்கு சம்ம் ஆகும் .ஏனென்றால்   2''b''<sup>2</sup> (2''b''<sup>2</sup>  மற்றொரு முழு எண்ணாக இருந்தாலும் கூட அவசியம்  2 ன் மடங்கு ஆகும் .)

6. அதைத் தொடர்ந்து {{math|''a''}} இரட்டையாக இருக்க வேண்டும் (ஒற்றைமுழுக்களின் வர்க்கங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக இருக்கும்.)

7. {{math|''a''}} என்பது இரட்டையாக இருப்பதால்,  ஆதையால் முழு எண் {{math|''k''}} என்பது  <math>a = 2k</math> பூர்த்தி செய்யும் உள்ளது.

8. படி 7 இலிருந்து  {{math|2''k''}} க்கு பதிலாக {{math|''a''}}  என  இரண்டாவது சமன்பாட்டில்  படி 4 ல்:  <math>2b^2 = a^2 = (2k)^2 = 4k^2</math> உள்ளது. அது  <math>b^2=2k^2</math> க்கு சம்மாகும்.

9. {{math|2''k''{{sup|2}}}}  இரண்டால் வகுபடுவதால் இரட்டை ஆகும். ஆனால் <math>2k^2=b^2</math> இதன் படி {{math|''b''{{sup|2}}}} ம் இரட்டை,அதாவது {{math|''b''}} என்பது இரட்டை ஆகும். 

10. படிகள் 5 மற்றும் 8 மூலம், {{math|''a''}} மற்றும் {{math|''b''}} இரண்டும் சமமாக இருக்கும், இது படி 3 க்கு முரணானது (அதாவது <math>\frac{a}{b}</math> விகிதமுறா எண்ணாகும்) 

நாம் ஒரு முரண்பாடைப் பெற்றிருப்பதால், அனுமானம் (1) அது <math>\sqrt{2}</math> என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்பது தவறாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் <math>\sqrt{2}</math>  ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல; அதாவது,<math>\sqrt{2}</math> விகிதமுறா எண்ணாகும் .  

இந்த நிரூபணம் [[அரிசுட்டாட்டில்]], அவரது  முந்தைய பகுப்பாராய்ச்சி முறை வடிவியல் §I.23 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது..<ref name=":4">All that Aristotle says, while writing about [[Proof by contradiction|proofs by contradiction]], is that "the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate".</ref>  இது [[யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ்]], புத்தக X இன் 117வது முன்மொழிவாக, முழு நிரூபணமும் முதலில் தோன்றியது. இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து, வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த நிரூபணம் யூக்ளிட்டுக்கு ஒரு இடைச்செருகல் மற்றும் காரணம் கற்பித்தல் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.<ref name=":5">The edition of the Greek text of the ''Elements'' published by E. F. August in [[Berlin]] in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with [[Johan Ludvig Heiberg (historian)|J. L. Heiberg's]] edition (1883–1888).</ref>

===தனித்துவமான காரணிபடுத்தல் மூலம் நிரூபணம்===
முடிவிலி இறக்க நிறுவதைப் போலவே, நாங்கள் பெறுகிறோம்
<math>a^2 = 2b^2</math>. இருபுறமும் சமமாக  இருப்பதால், ஒவ்வொரு பக்கமும் [[எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்|எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்]] மூலம் ஒரே பகாகாரணிப்படுத்துதல் கொண்டுள்ளது. மேலும் குறிப்பாக, காரணிகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட வேண்டும். இருப்பினும், வலதுபுறத்தில் காரணிகள் 2×b×b என ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் தோன்றும், ஆனால் இடதுபுறத்தில் காரணிகள் a×a என இரட்டை எண்ணிக்கையில் தோன்றும் - இதுவே ஒரு முரண்பாடு ஆகும்.

==இவற்றையும் பார்க்க==
*[[List of mathematical constants]]
*[[Square root of 3]], {{math|{{sqrt|3}}}}
* [[Square root of 5]], {{math|{{sqrt|5}}}}
*[[Gelfond–Schneider constant]], {{math|2<sup>{{sqrt|2}}</sup>}}
* [[Silver ratio]], {{math|1 + {{sqrt|2}}}}

{{clear}}
==குறிப்பு==
{{Reflist|25em}}

==மேற்கோள்கள் ==
* {{Citation
 | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol
 | doi = 10.2307/2695741
 | issue = 9
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | pages = 841–842
 | title = Irrationality of the square root of two – A geometric proof
 | volume = 107
 | year = 2000
 | jstor = 2695741}}.
* {{Citation | author = Aristotle | author-link = Aristotle | title = [[Prior Analytics|Analytica priora]] | year = 2007 | publisher = eBooks@Adelaide}}
* Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
* {{Citation
 | last = Flannery | first = David
 | isbn = 0-387-20220-X
 | publisher = Springer-Verlag
 | title = The Square Root of Two
 | year = 2005}}.
* {{Citation
 |last1        = Fowler
 |first1       = David
 |author1-link = David Fowler (mathematician)
 |last2        = Robson
 |first2       = Eleanor
 |author2-link = Eleanor Robson
 |doi          = 10.1006/hmat.1998.2209
 |issue        = 4
 |journal      = Historia Mathematica
 |pages        = 366–378
 |title        = Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context
 |volume       = 25
 |year         = 1998
|doi-access= free
 }}.
* {{Citation
 | doi = 10.2307/2344040
 | last1 = Good | first1 = I. J. | author1-link = I. J. Good
 | last2 = Gover | first2 = T. N.
 | issue = 1
 | journal = Journal of the Royal Statistical Society, Series A
 | pages = 102–107
 | title = The generalized serial test and the binary expansion of <math>\sqrt{2}</math>
 | volume = 130
 | year = 1967
 | jstor = 2344040}}.
* {{Citation
 | last = Henderson | first = David W.
 | contribution = Square roots in the Śulba Sūtras
 | editor-last = Gorini | editor-first = Catherine A.
 | isbn = 978-0-88385-164-7
 | pages = 39–45
 | publisher = Cambridge University Press
 | title = Geometry At Work: Papers in Applied Geometry
 | url = http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html
 | year = 2000}}.

==வெளி இணைப்புகள் ==
* {{Citation
 | last1 = Gourdon | first1 = X.
 | last2 = Sebah | first2 = P.
 | contribution = Pythagoras' Constant: <math>\sqrt{2}</math>
 | title = Numbers, Constants and Computation
 | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html
 | year = 2001}}.
* [https://www.gutenberg.org/ebooks/129 The Square Root of Two to 5 million digits] by Jerry Bonnell and [[Robert J. Nemiroff]]. May, 1994.
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Square root of 2 is irrational], a collection of proofs
* {{cite web|last=Grime|first=James|title=The Square Root <math>\sqrt{2}</math> of Two|url=http://www.numberphile.com/videos/root2.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|author2=Bowley, Roger }}
* [http://pisearch.org/sqrt2 {{radic|2}} Search Engine] 2 billion searchable digits of {{radic|2}}, {{pi}} and {{mvar|e}}
{{Algebraic numbers}}
{{Irrational number}}
{{Authority control}}