இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் மீதான பெர்மாவின் தேற்றம்

இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் மீதான பெர்மாவின் தேற்றத்தின்படி, ஒரு ஒற்றைப் பகாஎண்ணானது, மாடுலோ  4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அதனை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதமுடியும்

தேற்றத்தின் கூற்று

p ஒரு ஒற்றைப் பகாஎண் எனில்:

$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அதனை

$p=x^2+y^2,$ (x , y முழு எண்கள்) என எழுதமுடியும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

5, 13, 17, 29, 37, 41 ஆகிய ஒற்றைப் பகாஎண்கள் மாடுலோ  4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமாக உள்ளன. இவற்றை இரு முழு எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதலாம்:

$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,29=2^2+5^2,37=1^2+6^2,41=4^2+5^2.$

நிறுவல்

பகாஎண்கள் மட்டுமில்லாமல் நேர்முழு எண்களையும் இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதலாம் என்பதை முதன்முறையாகக் கண்டறிந்தவர் கணிதவியலாளர் ஆல்பர்ட் ஜிரார்டு ஆவார். எனினும் அவரது காலத்திற்குப் பின்னரே 1634 இல், இந்த முடிவு வெளியானது. கணிதவியலாளர் பெர்மா, திசம்பர் 25, 1640 இல், பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் மாரின் மெர்செனெக்கு எழுதிய கடிதத்தில், இத் வர்க்கங்களின் கூடுதல் தொடர்பான இத் தேற்றத்தை எழுதியிருந்தார்.

ஆனால் பெர்மா இத் தேற்றத்தின் நிறுவலை எங்கும் எழுத்துபூர்வமாகத் தரவில்லை. முதல் நிறுவலை முறையாக அளித்தவர் ஆய்லர் ஆவார். 1747, 1749 ஆம் ஆண்டுகளில் கணிதவியலாளர் கிறிஸ்டியன் கோல்டுபேச்சுக்கு (Christian Goldbach) ஆய்லர் எழுதிய கடிதங்களில் இந் நிறுவல் குறித்துத் தெரிவித்த ஆய்லர், 1752-1755 இல் இந் நிறுவலை இரு கட்டுரைகளாக வெளியிட்டார். 1775 ஆம் ஆண்டில் கணிதவியலாளர் லெக்ராஞ்சி அவரது இருபடி வடிவின் ஆய்வை அடிப்படையாகக் கொண்டு இத் தேற்றத்திற்கு ஒரு நிறுவலைக் கண்டறிந்தார். கணிதவியலாளர் காசால் இந் நிறுவல் எளிமைப்படுத்தி வெளியிடப்பட்டது. இவை தவிர பல நிறுவல்கள் வேறுசில கணிதவியலாளர்களாலும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன.

தொடர்புடைய முடிவுகள்

செப்டம்பர் 25, 1654 இல் பாஸ்கலுக்கு எழுதிய கடிதத்தில், இம் முடிவுடன் தொடர்புடைய ஒற்றைப் பகாஎண்களுக்கான இரு முடிவுகளை பெர்மா அறிவித்தார்:

$p$ ஒற்றைப் பகாஎண் எனில்,

• $p=x^2+2y^2\iff p\equiv 1\text{ or }p\equiv 3(\mathrm{mod}8),$
• $p=x^2+3y^2\iff p\equiv 1(\mathrm{mod}3).$

மேலும்: 20k + 3 அல்லது 20k + 7 வடிவில் அமைந்த இரு பகாஎண்கள் p, q எனில்:

• $pq=x^2+5y^2$.

பின்னர் ஆய்லர் இதனை கீழ்க்காணும் கணிப்பாக மேம்படுத்தினார்:

• $p=x^2+5y^2\iff p\equiv 1\text{ or }p\equiv 9(\mathrm{mod}20),$
• $2p=x^2+5y^2\iff p\equiv 3\text{ or }p\equiv 7(\mathrm{mod}20).$

பெர்மா, ஆய்லர் இருவரது முடிவுகளும் லெக்ராஞ்சியால் நிறுவப்பட்டது.