பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றம்

பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றத்தின்படி, சிவப்புச் சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலும் நீலச் செவ்வகங்களில் பரப்பளவுகளின் கூடுதலும் சமம்.

யூக்ளிடிய வடிவவியலின் பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றப்படி (British flag theorem) ABCD செவ்வகத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளி P எனில், அப்புள்ளியிலிருந்து செவ்வகத்தின் ஒரு சோடி எதிர்முனைகளின் தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலும் மற்றொரு சோடி எதிர்முனைகளின் தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலும் சமமாக இருக்கும்.

இத்தேற்றத்தின் கூற்றின் சமன்பாட்டு வடிவம்:

$A{P}^2+C{P}^2=B{P}^2+D{P}^2.$

செவ்வகத்திற்கு வெளிப்புறமுள்ள புள்ளிகளுக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று உண்மையாகும். பொதுவாக, யூக்ளிடிய வெளியிலுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளிக்கும் அவ்வெளியில் உட்பதிந்த எந்தவொரு செவ்வகத்துக்கும் இத்தேற்றம் பொருந்தும். P என்ற புள்ளியிலிருந்து ஒரு இணைகரத்தின் ஒவ்வொரு சோடி எதிர் முனைகளுக்குள்ள தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலை ஒப்பிட்டால் அவை சமமாக இருக்காது. அக்கூடுதல்களின் வித்தியாசம் இணைகரத்தின் வடிவமைப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும். P புள்ளியின் தேர்வைச் சார்ந்ததிருக்காது.

நிறுவல்

நிறுவலுக்கான படவிளக்கம்

P இலிருந்து செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் AB, BC, CD, AD க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் அப்பக்கங்களை முறையே W, X, Y , Z புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன. அப்புள்ளிகளை இணைக்கும் நாற்கரம் WXYZ ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் ஆகும்.

செங்கோண முக்கோணம் AWP இல் பித்தேகோரசு தேற்றம் பயன்படுத்த:

• $A{P}^2=A{W}^2+W{P}^2=A{W}^2+A{Z}^2$ (WP = AZ)

இதேமுறையில் மற்ற மூன்று முனைகளின் தொலைகளின் வர்க்கங்கள் காண:

• $P{C}^2=W{B}^2+Z{D}^2,$
• $B{P}^2=W{B}^2+A{Z}^2,$
• $P{D}^2=Z{D}^2+A{W}^2.$

இவற்றின் மூலம் பின்வருமாறு தேற்ற முடிவினைக் காணலாம்:

$A{P}^2+P{C}^2=(A{W}^2+A{Z}^2)+(W{B}^2+Z{D}^2)=(W{B}^2+A{Z}^2)+(Z{D}^2+A{W}^2)=B{P}^2+P{D}^2.$

பெயர்

ஐக்கிய இராச்சியக் கொடி.

P இலிருந்து செவ்வகத்தின் முனைகளுக்கு வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டுகளும், நிறுவலுக்காக வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடுக்ளும் சேர்ந்து கிட்டத்தட்ட ஐக்கிய இராச்சியத்தின் கொடியின் வடிவை ஒத்தமைவதால், இத்தேற்றம் பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றம் என்ற பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.