குறுக்குப் பெருக்கல்

கணிதத்தில் குறுக்குப் பெருக்கல் (Cross-multiplication) என்பது அடிப்படை எண்கணிதம், அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் இரு பின்னங்கள் அல்லது இயற்கணிதக் கோவை#விகிதமுறு கோவைகளுக்கிடையேயான சமன்பாட்டை எளிய வடிவிற்கு மாற்றவும் அவற்றிலுள்ள மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடித்து அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு காணவும் பயன்படும் எளிய கணக்கீட்டு முறையாகும்.

தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$ இங்கு வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டும் பூச்சியமல்ல

இச்சமன்பாட்டைக் குறுக்கே பெருக்கிப் பின்வரும் முடிவைப் பெறலாம்:

$ad=bc\mathrm{o}\mathrm{r}a=\frac{bc}{d}.$

யூக்ளிடிய வடிவவியலின் விகிதங்களை வடிவொத்த முக்கோணங்களின் விகிதங்களைப் போன்று கருதுவதன் மூலம் யூக்ளிடிய வடிவவியலிலும் குறுக்குப் பெருக்கலைச் செய்யலாம்.

செய்முறை

குறுக்குப் பெருக்கலில் விகிதமுறு சமன்பாட்டின் இருபுறம் உள்ள பின்னங்களில்,

• வலப்புற பின்னத்தின் பகுதி இடப்புறத்துக்கு மாற்றப்பட்டு, இடப்புற பின்னத்தின் தொகுதியோடு பெருக்கப்படுகிறது.
• அதேபோல, இடப்புற பின்னத்தின் பகுதி வலப்புறத்துக்கு மாற்றப்பட்டு, வலப்புற பின்னத்தின் தொகுதியோடு பெருக்கப்படுகிறது.

$\frac{a}{b}\nwarrow \frac{c}{d}\frac{a}{b}\nearrow \frac{c}{d}.$

குறுக்குப் பெருக்கலை முறையை கீழுள்ள கணிதச் செயற்பாடுகளின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்:

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் விகிதமுறு சமன்பாடு:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் அதன் இருபுறமும் ஒரே உறுப்பால் பெருக்கும்போது அச்சமன்பாடு மாறாது என்ற முடிவின்படி, இச்சமன்பாட்டை இருபுறமும் வார்ப்புரு:Math ஆல் பெருக்க:

$\frac{a}{b}\times bd=\frac{c}{d}\times bd$

ஒவ்வொரு புறமுமுள்ள பொதுக்காரணியால் சுருக்க:

$ad=bc$

குறுக்குப் பெருக்கலை கீழுள்ள மற்றொரு முறையிலும் சரிபார்க்கலாம்:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

இடதுபுறம் வார்ப்புரு:Math = 1 ஆலும், வலதுபுறம் வார்ப்புரு:Math = 1 ஆலும் பெருக்க:

$\frac{a}{b}\times \frac{d}{d}=\frac{c}{d}\times \frac{b}{b}$

$\frac{ad}{bd}=\frac{cb}{db}.$

வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டும் பூச்சியமல்ல என்பதால், இருபுறமும் பொதுவான பகுதியாகவுள்ள வார்ப்புரு:Math = வார்ப்புரு:Math ஐ நீக்க:

$ad=cb.$

பயன்பாடு

பின்னச் சமன்பாடுகளைச் சுருக்கவும், தீர்க்கவும் குறுக்குப் பெருக்கல் பயன்படுகிறது.

$\frac{x}{b}=\frac{c}{d}$

இச்சமன்பாட்டில் x இன் மதிப்பைக் காண வேண்டுமெனில் குறுக்குப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த,

$x=\frac{bc}{d}.$

எடுத்துக்காட்டு:

மாறாத வேகத்தில் ஓடிக்கொண்டிருக்கும் ஒரு மகிழுந்து கடந்த மூன்று மணி நேரத்தில் 90 கிமீ கடந்துள்ளது என்றால், ஏழு மணி நேரத்தில் அது கடக்கும் தூரம் எவ்வளவு?

இக்கணக்கின் விடைகாண்பதற்கு, தரவு கீழ்வரும் விகிதச் சமனாக எழுதப்படுகிறது. இதில் x என்பது 7 மணி நேரத்தில் கடக்கும் தொலைவைக் குறிக்கிறது.

$\frac{x}{7\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}}=\frac{90\mathrm{k}\mathrm{m}}{3\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}}.$

குறுக்குக் பெருக்கலின்படி:

$x=\frac{7\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}\times 90\mathrm{k}\mathrm{m}}{3\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}}$

$x=210\mathrm{k}\mathrm{m}.$

$a=\frac{x}{d}$ என்ற எளிய வடிவில் சமன்பாடு அமைந்தால் வார்ப்புரு:Math = 1 எனக் கொள்ள:

$\frac{a}{1}=\frac{x}{d}.$

இப்போது குறுக்குப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி x இன் மதிப்பைக் காணலாம்:

$x=\frac{ad}{1}=ad.$

மூன்றின் விதி

மூன்றின் விதி (Rule of Three) என்பது குறுக்குப் பெருக்கலுக்கான ஒரு சுருக்கு வழிமுறையாகும். பிரெஞ்சு தேசிய பள்ளிக்கல்விப் பாடத்திட்டத்தில் இது இடம் பெற்றுள்ளது.

தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$

இதில் மதிப்பு காணப்பட வேண்டிய மாறியானது வலதுபக்கத்தில் பகுதியாக உள்ளது. மூன்றின் விதிப்படி:

$x=\frac{bc}{a}.$

இதில் வார்ப்புரு:Math, ”ஓரமதிப்பு”” (extreme) எனவும் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இடைமதிப்புகள் (means) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன..

மேற்கோள்கள்

• mathsisfun-Cross Multiply

மேலும் படிக்க

• 'Dr Math', Rule of Three
• 'Dr Math', Abraham Lincoln and the Rule of Three
• Pike's System of arithmetick abridged: designed to facilitate the study of the science of numbers, comprehending the most perspicuous and accurate rules, illustrated by useful examples: to which are added appropriate questions, for the examination of scholars, and a short system of book-keeping., 1827 வார்ப்புரு:Webarchive - facsimile of the relevant section
• Hersee J, Multiplication is vexation வார்ப்புரு:Webarchive - an article tracing the history of the rule from 1781
• The Rule of Three as applied by Michael of Rhodes in the fifteenth century
• The Rule Of Three in Mother Goose
• Rudyard Kipling: You can work it out by Fractions or by simple Rule of Three, But the way of Tweedle-dum is not the way of Tweedle-dee.