இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை

இயற்கணிதத்தில், குறிப்பற்ற களத்திலமைந்த கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை:

$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ எனில், இதன் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது எதிரொளிக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை (reciprocal polynomial, Palindromic polynomial, reflected polynomial) கீழ்வரும் அமைப்புள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்:

$p^{*}(x)=a_n+a_{n-1}x+\cdots +a_0{x}^n=x^{n}p(x^{-1}).$

தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: வார்ப்புரு:Math அல்லது வார்ப்புரு:Math,

வார்ப்புரு:Math இன் கெழுக்கள், எதிர்வரிசையில் அமையும் வார்ப்புரு:Math இன் கெழுக்களாக இருக்கும். நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகத் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் நேரியல் இயற்கணிதத்தில் தோன்றுகின்றன.

கெழுக்களமையும் களமானது சிக்கலெண்களாக இருந்தால் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை:

$p(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$ ஆக இருக்கும்.

இதன் இணையிய தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை (conjugate reciprocal polynomial)வார்ப்புரு:Math பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$p^{†}(z)=\overline{a_n}+\overline{a_{n-1}}z+\cdots +\overline{a_0}{z}^n=z^n\overline{p({\overline{z}}^{-1})},$

இதில் வரும் $\overline{a_i}$ ஆனது, $a_i$ இன் இணைச் சிக்கலெண் ஆகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை சுருக்கமாக தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

பல்லுறுப்புக்கோவை வார்ப்புரு:Math ஆனது தன்-தலைகீழி (self-reciprocal) அல்லது "இருவழியொத்தது" (palindromic) எனில்:

வார்ப்புரு:Math.

மேலும் தன்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் பின்வருமாறிருக்கும்:

வார்ப்புரு:Math (அனைத்து வார்ப்புரு:Math).

பண்புகள்

தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் அதன் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் பல தொடர்புகள் உள்ளன:

1. வார்ப்புரு:Math
2. வார்ப்புரு:Math.
3. தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை வார்ப்புரு:Math இன் மூலமாக வார்ப்புரு:Math "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை வார்ப்புரு:Math இன் மூலமாக வார்ப்புரு:Math இருக்கும்.
4. வார்ப்புரு:Math எனில், தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை வார்ப்புரு:Math குறைக்கவியலாததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை வார்ப்புரு:Math ஆனது குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
5. தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை வார்ப்புரு:Math தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக குறைக்கவியலாததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை வார்ப்புரு:Math ஆனது தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

• ஒற்றைப் படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை x+1 ஆல் வகுபடும். எனவே ஒன்றுக்கு அதிகமான படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் குறைக்கவியலாதவை.

எதிர்-தலைகீழ் அல்லது எதிர் இருவழியொத்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

$P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ என்ற வார்ப்புரு:Math படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழானது எனில்:

வார்ப்புரு:Math (வார்ப்புரு:Math).

இதேபோல $P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ என்ற வார்ப்புரு:Math படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை எதிர்-இருவழியொத்தது எனில்:

வார்ப்புரு:Math (வார்ப்புரு:Math). அதாவது

வார்ப்புரு:Math.

எடுத்துக்காட்டு:

ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் பண்புகளின்படி,

• வார்ப்புரு:Math நேர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது, வார்ப்புரு:Math ஒரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
• வார்ப்புரு:Math-இரட்டை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது வார்ப்புரு:Math தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், வார்ப்புரு:Math-ஒற்றை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும் இருக்கும்.

பண்புகள்

• தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒன்றின் மூலம் வார்ப்புரு:Math என்றால், வார்ப்புரு:Sfrac யும் அதே மடங்கெண்கொண்ட மற்றொரு மூலமாக இருக்கும்.
• இதன் மறுதலையும் உண்மை: வார்ப்புரு:Math மூலம் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு வார்ப்புரு:Sfrac யும் அதே மடங்கெண்ணுடைய மற்றொரு மூலமாக இருந்தால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது, தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழானது.
• வார்ப்புரு:Math, ஏதாவதொரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனில்:

வார்ப்புரு:Math தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை;

வார்ப்புரு:Math எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.

• இதிலிருந்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் (வார்ப்புரு:Math) பின்வருமாறு எழுதலாம்:

வார்ப்புரு:Math.

• இரு தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனான பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
• தலைகீழ் மற்றும் எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இரண்டின் பெருக்கற்பலன் ஒரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
• ஒற்றைப் படிகொண்ட எந்தவொரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும் வார்ப்புரு:Math ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலம் –1). மேலும் அக்கோவையை வார்ப்புரு:Math ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையும் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
• இரட்டைப் படியுடைய எந்தவொரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும் வார்ப்புரு:Math ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலங்கள் −1, 1). மேலும் அதனை வார்ப்புரு:Math ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
• வார்ப்புரு:Math ஆனது இரட்டையெண் படி 2வார்ப்புரு:Mvar கொண்ட தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையெனில், வார்ப்புரு:Math என்பதை நிறைவு செய்யும் வார்ப்புரு:Math படியுள்ள மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை வார்ப்புரு:Math இருக்கும்

மெய்யெண் கெழுக்கள்

கெழுக்களை மெய்யெண்களாகக் கொண்டதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிக்கலெண் மூலங்கள் எல்லாம் சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த ஓரலகு வட்டத்தின் மீதமையுமானால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Citation
• வார்ப்புரு:Citation
• வார்ப்புரு:Citation

வெளியிணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:MathPages
• Reciprocal Polynomial (on MathWorld)