இணையாட்களம் (கணிதம்)

சிறு முன்தோற்றத்தை உருவாக்கப்படுவதில் தவறு:

X(இடது) இலிருந்து Y(வலது) க்குப்போகும் சார்பு (f). Y க்குள்ளே காட்டப்பட்டிருக்கும் சிறிய வட்டம் தான் f இன் வீச்சு. f இன் இணையாட்களம் Y.

கணிதத்தில், சார்பு $f$ : $X$ → $Y$ இன் இணையாட்களம் (Codomain) என்பது $Y$என்ற கணம்.

$f$இன் ஆட்களம் என்பது $X$.

{ $f(x)$ : $x$ ∈ $X$ } என்ற கணம் $f$ இன் வீச்சு எனப்படும். அதை $f(X)$ என்றும் எழுதலாம்.

இதனிலிருந்து $f$ இன் வீச்சு எப்பொழுதும் அதன் இணையாட்களத்தின் உட்கணமாகத்தான் இருக்கவேண்டும் என்று ஊகிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு

இணையாட்களத்திற்கும் வீச்சுக்கும் உள்ள வேறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்ள ஒரு நேரியல் உருமாற்றத்தின் அணியைக் கருத்தில் கொள்வது உதவும். வழக்கப்படி, ஒரு $m\times n$ அணியுடன் உறவுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு நேரியல் கோப்பின் அரசு Rⁿ, மற்றும் இணையாட்களம் R^m. ஆனால் அவ்வணியை எல்லா n-பரிமாண நிரல்திசையன்களால் வலது பக்கம் பெருக்கினால் கிடைக்கும் கணம் மிகச்சிறியதாகவும் இருக்கலாம். உதாரணத்திற்கு, அணியின் எல்லா உறுப்புக்களும் 0 வாக இருந்தால், வீச்சு, அதன் பரிமாணம் $m$ ஆக இருந்தாலும் ஒரு சூனிய அணியே. அணியின் ஏதாவதொரு உறுப்பை மாற்றினால் கூட வீச்சு பெரிதாகிவிடும்.

இன்னொரு எடுத்துக்காட்டு

$f$: R$\to$ R வரையறை: $f:x\mapsto x^2.$

f இன் இணையாட்களம் R. ஆனால் f(x) எதிர்ம மதிப்புகளை வெளியீடு செய்வதில்லை.அதனால் வீச்சு R$\underset{+}{\overset{}{0}}$: , அதாவது எதிர்மமில்லாத மெய்யெண்கள், அதாவது [0, $\mathrm{\infty }$) :

$0\le f(x)<\mathrm{\infty }.$

இப்பொழுது $g$ என்ற இன்னொரு சார்பை கவனிப்போம்:

$g:$ R $\to$R$\underset{+}{\overset{}{0}}$: $g:x\mapsto x^2.$

$f$ ம் $g$ ம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ஒரே மாதிரியாக செயலாக்கினாலும் , தற்காலக்கணிதத்தில் அவையிரண்டும் ஒரே சார்பல்ல. ஏனென்றால் அவைகளினுடைய இணையாட்களங்கள் வெவ்வேறானவை. இதை நன்கறிந்துகொள்ள இன்னொரு சார்பைப்பார்ப்போம்:

$h:x\mapsto \sqrt{x}.$

இங்கு R$\underset{+}{\overset{}{0}}$ தான் அரசாக வரையறுக்கப்படமுடியும். இப்பொழுது இவ்விரண்டு சேர்வைகளை நோக்குக:

$h\circ f$,

$h\circ g$.

இவையிரண்டில் எது சரியான பொருளுள்ளது? முதலிலுள்ளது பிரச்சினையை எழுப்புகிறது. ஏன்? வர்க்கமூலம் எதிர்ம எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை!

ஆக, சார்புகளின் சேர்வை $f_1\circ f_2$ பேசப்படும்பொழுது, வலது பக்கச்சார்பின் இணையாட்களமும் இடது பக்கத்து சார்பின் ஆட்களமும் ஒரே கணமாக இருக்கவேண்டும்.

இணையாட்களத்தைப்பொருத்துதான் சார்பு ஒரு முழுக்கோப்பா அல்லவா என்பது தீர்மானிக்கப்படும். சார்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பா என்பது இணையாட்களத்தைப்பொருத்ததில்லை.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• ஆட்களம் (கணிதம்)
• வீச்சு