சமான உறவு (கணிதம்)

கணிதத்தில் பற்பல சூழ்நிலைகளில் சில பொருள்களையோ அல்லது கணிதப் படைப்புகளையோ சமானமாகக் கருத வேண்டிய அவசியம் ஏற்படுகின்றது. இது கணிதத்துக்கு மாத்திரம் ஏற்படுவதில்லை. உலகில் சாதாரண வாழ்க்கையில் பல்வேறு காரணங்களுக்காக நாம் சில விஷயங்களை, பொருள்களை, சமானமாக பாவித்து, அவைகளை ஒரே பகுதியில் சேர்க்கிறோம். மனித சமூகத்தை ஆண், பெண் என்ற இரண்டு பகுதிகளாகப்பிரித்து குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையில் ஆண்களை ஒருவருக்கொருவர் சமானமாகவும் பெண்களை ஒருவருக்கொருவர் சமானமாகவும் கருதுகிறோம். வேறு ஒரு சூழ்நிலையில் வயதை வைத்து அதே மானிட சமூகத்தை வேறு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம். இவ்விதம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது ஒரே பகுதிக்குள் உள்ள பொருள்களை அல்லது நபர்களை ஒருவருக்கொருவர் சமானமாகவும் வெவ்வேறு பகுதிகளுக்குள் உள்ளவர்களை ஒருவருக்கொருவர் சமானமில்லாதவர்களாகவும் கருதுகிறோம். இவ்விதம் சமானம் என்ற கருத்து தோன்றுகின்றபொழுது அல்லது படைக்கப்படுகின்றபொழுது, சமான உறவு என்பது உருவாக்கப்படுகிறது.

கணிதத்தில் சமான உறவு

அஞ்சல் தலைகளின் கணத்தில் ஒரே வகையைச் சேர்ந்த அஞ்சல் தலைகளை ஒரு பகுதியாகக் கொண்டு அக்கணத்தைப் பகுக்கும் ஒரு சமான உறவு. இதில் எந்தவொரு அஞ்சல் தலையும் இரு கட்டுகளில் இல்லை; அதே சமயம் எந்தவொரு கட்டும் அஞ்சல் தலையின்றி இல்லை.

கணிதத்தில் சமான உறவு (equivalence relation) என்பது தரப்பட்ட ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரேயொரு பகுதிக்குள் இருக்குமாறு அக்கணத்தைச் சிறுசிறு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் ஒரு ஈருறுப்பு உறவாகும். ஒரு கணத்திலுள்ள இரு உறுப்புகள் அக்கணத்தின் ஒரே பகுதிக்குள் இருந்தால் மட்டுமே அவ்விரு உறுப்புகளும் சமானமானவையாகக் கருதப்படும். கணத்தின் ஏதேனும் இரு பகுதிகளின் வெட்டு வெற்றுக் கணமாகவும் அனைத்து பகுதிகளின் ஒன்றிப்பு அக்கணமாகவும் இருக்கும்.

வரையறை

ஒரு கணம் A இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவானது (~) எதிர்வு, சமச்சீர், கடப்பு ஆகிய மூன்று உறவுகளாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு சமான உறவாக இருக்கும். அதாவது,

A கணத்தின் உறுப்புகள் a, b , c அனைத்திற்கும்:

எதிர்வு (Reflexivity): ஒவ்வொரு பொருளும் தனக்கு சமானம்.அதாவது, $a\sim a$

சமச்சீர் (Symmetry): இது அதற்குச் சமானமென்றால் அது இதற்குச் சமானம். அதாவது $a\sim b\Rightarrow b\sim a$

கடப்பு (Transitivity): இது அதற்குச் சமானமாகவும், அது இன்னொன்றுக்குச் சமானமாகவும் இருந்தால், இது அந்த இன்னொன்றுக்குச் சமானமாக இருந்தாக வேண்டும். அதாவது, $a\sim b,b\sim c\Rightarrow a\sim c.$

ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளுக்குள் ஓர் உறவு படைக்கப்பட்டு அது மேற்கூறிய மூன்று பண்புகளையும் பெற்றிருந்தால் அதை சமான உறவு என்று வரையருக்கபடுகிறது முக்கிய விளைவு, அவ்வுறுப்புகளெல்லாம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுவதே.

குறியீடு

R எனும் சமான உறவைப் பொறுத்து, ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் a , b இரண்டும் சமானமானவை எனில் அதனைக் குறியீட்டில் பின்வருமாறு குறிக்கலாம்:

R, மிகவும் வெளிப்படையானதொரு உறவாக இருப்பின் குறியீடு:

$a\sim b$

$a\equiv b$

பிற உறவுகளுக்கு குறியீடு:

$a{\sim }_{R}b$

$a{\equiv }_{R}b$

${}_a{R}_b$

எடுத்துக்காட்டுகள்

கணிதத்தில் அநேக சமான உறவுகள் படைக்கப்படுகின்றன்.

• முடிவுறு கணங்களுக்குள் அவைகளின் எண்ணிக்கையில் ஒன்றாக இருப்பவைகளைக் கொண்டு ஒரு சமானம்.
• மெய்யெண்களின் கணத்தில் "சமம்" என்பது சமான உறவு
• மக்களின் கணத்தில் "ஒரே பிறந்தநாள் கொண்டவர்கள்" என்ற உறவு சமானம்.
• முக்கோணங்களின் கணத்தில் "வடிவொத்த" என்ற உறவு சமானம்.
• முக்கோணங்களின் கணத்தில் "சர்வசமம்" என்ற உறவு சமானம்.
• முழு எண்களில் சமானம், மாடுலோ n உறவு சமானம்.
• ஒரு சார்பின் ஆட்களத்தில் அச்சார்பின் கீழ் "சம எதிருரு உள்ள" என்ற உறவு சமானம்.
• மெய்யெண்களில் "சம தனிமதிப்புள்ள" என்ற உறவு சமானம்.
• கோணங்களின் கணத்தில் "சம கொசைன் மதிப்புள்ள" என்ற உறவு சமானம்.
• ஒழுங்கு திண்மங்கள் ஐந்தே ஐந்து இருப்பதாகக்கொள்ளும்போது ஒரு சமானம்.
• மாலைகளின் மணிகளை நிறப்படுத்தும்போது, சுழற்சியினால் ஏற்படும் ஒரு சமானம்.

ஆக, இன்னும் பல.

சமான உறவல்லாதவை சில

• மெய்யெண்களில் "≥" என்பது சமான உறவு இல்லை. ஏனெனில் அது எதிர்வு மற்றும் கடப்பு உறவாக இருந்தாலும் சமச்சீர் உறவாக இல்லை (7 ≥ 5 ஆனால் 5 ≥ 7 என்பது உண்மை இல்லை).
• 1 ஐ விட அதிகமான இயல் எண்களில் 1 ஐ விடப் பெரிய பொதுக்காரணியுடைய என்பது சமான உறவு இல்லை. ஏனெனில் அது எதிர்வு மற்றும் சமச்சீர் உறவாக இருப்பினும் கடப்பு உறவு இல்லை (2, 6 இரண்டிற்கும் 1 ஐவிடப் பெரிய பொதுக்காரணி உள்ளது; 6, 3 இரண்டிற்கும் 1 ஐவிடப் பெரிய பொதுக்காரணி உள்ளது; ஆனால் 2, 3 இரண்டிற்கும் 1 ஐவிடப் பெரிய பொதுக்காரணி இல்லை).

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சமானம், மாடுலோ n
• எண்களின் சமானப்பகுதிகள்
• இடவியல் உருமாற்றம்
• கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்

மேற்கோள்கள்

• Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. வார்ப்புரு:Webarchive Booksurge LLC. வார்ப்புரு:ISBN.
• Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
• Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W. "Equivalence Relation." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EquivalenceRelation.html
• Bogomolny, A., "Equivalence Relationship" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
• Equivalence relation வார்ப்புரு:Webarchive at PlanetMath