முற்றொருமைச் சார்பு

கணிதத்தில் முற்றொருமைச் சார்பு (identity function) என்பது அளிக்கப்படும் ஒவ்வொரு மாறியையும் அதே மாறியாகத் திருப்பித் தரும் ஒரு சார்பாகும். இச்சார்பு முற்றொருமைக் கோப்பு (identity map) அல்லது முற்றொருமை உருமாற்றம் (identity transformation) எனவும் அழைக்கப்படும். சமன்பாட்டு வடிவில் ஒரு முற்றொருமைச் சார்பைக் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்:

$f(x)=x.$

சில பாடப்புத்தகங்களில் முற்றொருமைச் சார்பானது சமனிச் சார்பு எனவும் குறிப்பிடப்படுகிறது.

வரையறை

முற்றொருமைச் சார்பு முறையாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

M ஒரு தரப்பட்ட கணம் எனில், M கணத்தை ஆட்களமாகவும் இணையாட்களமாகவும் கொண்ட ஒரு சார்பு f ,

$f(x)=x,$ $\mathrm{\forall }x\in M$ என அமைந்தால், f ஒரு முற்றொருமைச் சார்பாகும்..

அதாவது முற்றொருமைச் சார்பானது, M கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு x -ஐயும் M -லுள்ள அதே x -உடன் இணைக்கிறது.

பெரும்பாலும் M மீதான முற்றொருமைச் சார்பு f , id_M எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $f:ℝ\to ℝ,$

$f(x)=x\times 1$

மெய்யெண்கணத்திலிருந்து மெய்யெண்கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் இச்சார்பு அளிக்கப்பட்ட மாறியை அம்மாறியை எண் 1-ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் பெருக்குத்தொகையாகத் திருப்பித் தருகிறது. எண்களில் பெருக்கல் செயலியின் பண்பின்படி, ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும் ஒன்றால் பெருக்கப்படும்போது கிடைக்கும் பெருக்குத்தொகை அதே மெய்யெண்ணாகவே இருக்கும். எனவே இச்சார்பு ஒரு முற்றொருமைச் சார்பாகும்.

• $f:{ℝ}^{\mathbb{+}}\to ℝ$

$f(x)=|x|$

நேர்ம மெய்யெண்களின் கணத்திலிருந்து மெய்யெண்கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் இச்சார்பு அளிக்கப்படும் மாறியை அம்மாறியின் தனி மதிப்பாகத் திருப்பித் தருகிறது.

ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பின் வரையறைப்பப்படி:

$|x|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x<0.\end{array}$

நேர்ம மெய்யெண்களின் தனிமதிப்பு அதே நேர்ம எண்ணாகவே இருக்கும் என்பதால் இச்சார்பு ஒரு முற்றொருமைச் சார்பாகும். ஆனால் சார்பின் ஆட்களத்தை மெய்யெண்கணமாகக் கொண்டால் இச்சார்பு ஒரு முற்றொருமைச் சார்பாக அமையாது என்பதைக் கவனித்தல் அவசியம்.

• முற்றொருமை வரிசை மாற்றம் ஒரு முற்றொருமைச் சார்பு.

முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது, கணம் $\{1,2,\dots ,n\}$ அல்லது $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் அதே உறுப்பாக இயல்பான வரிசைப்படி மாற்றும்.

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& \cdots & n\\ 1& 2& 3& \cdots & n\end{array}\right).$

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & n\\ a_1& a_2& a_3& \cdots & n\end{array}\right).$

இயற்கணிதப் பண்பு

$f:M\to M$ எனில்,

$f\circ i{d}_M=i{d}_M\circ f$

இதில் $\circ$ என்பது சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியின் குறியீடு.

M லிருந்து M -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து சார்புகளின் அலகுள்ள அரைக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு $i{d}_M$ ஆகும்.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W. "Identity Function." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IdentityFunction.html