லைப்னிட்சின் குறியீடு

நுண்கணிதத்தில் லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் (Leibniz's notation) x , y மாறிகளில் ஏற்படும் நுண்ணிய சிறிதளவான கூடுதலைக் குறிப்பதற்கு முறையே dx , dy என்ற குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 17 ஆம் நூற்றாண்டின் ஜெர்மனியின் மெய்யியலாளரும் கணிதவியலாளருமான லைப்னிட்சைச் சிறப்பிக்கும் விதமாக இக்குறியீட்டிற்கு அவரது பெயரிடப்பட்டுள்ளது.

லைப்னிட்சின் குறியீட்டின்படி,

$y=f(x),$ என்ற சார்பில், x -ஐப் பொறுத்த y இன் வகைக்கெழு:

$\frac{dy}{dx}$ ஆகும்.

ஆனால் பிற்காலத்தில் வகைக்கெழு, எல்லை மதிப்பாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x},$

வகையிடலில் லைப்னிட்சின் குறியீடு

முதல் வகைக்கெழு

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் f(x) என்ற சார்பின் முதல் வகைக்கெழு:

$\frac{d(f(x))}{dx}$

$y=f(x),$ எனில் வகைக்கெழு:

$\frac{dy}{dx}$

பிற குறியீடுகள்

லைப்னிட்சைத் தவிர மேலும் பல கணிதவியலாளர்களும் வகையிடலுக்கானக் குறியீடுகளை உருவாக்கியுள்ளனர்.

அவற்றுள் குறிப்பிடத்தக்கவை:

• லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு

$\frac{d(f(x))}{dx}=f^{\prime }(x)$

• நியூட்டனின் குறியீடு

$\frac{dx}{dt}=\dot{x}$

உயர் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

• y = f(x) இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு

$\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{d^2}{{\left(dx\right)}^2}(f(x))=\frac{d^2}{d{x}^2}(f(x))$

(அல்லது)

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ எனவும் எழுதலாம்.

• y = f(x) இன் மூன்றாம் வகைக்கெழு

$\frac{d\left(\frac{d\left(\frac{d(f(x))}{dx}\right)}{dx}\right)}{dx}={\left(\frac{d}{dx}\right)}^3(f(x))=\frac{d^3}{{\left(dx\right)}^3}(f(x))$

இதனை,

${\left(\frac{d}{dx}\right)}^3(f(x))=\frac{d^3}{{\left(dx\right)}^3}(f(x))$ எனவும்,

(அல்லது)

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$ எனவும் எழுதலாம்.

• y = f(x) இன் n ஆவது வரிசை வகைக்கெழு

$\frac{d^n(f(x))}{d{x}^n}\text{ or }\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

ஒரு புள்ளியில் வகைக்கெழு

வார்ப்புரு:Nowrap புள்ளியில், x ஐப் பொறுத்த y இன் வகைக்கெழுவை லைபினிட்சின் குறியீட்டில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவாறு இருவிதமாக எழுதலாம்:

${\frac{dy}{dx}|}_{x=a}$

(அல்லது)

$\frac{dy}{dx}(a).$

பயன்பாடு

இக்குறியீட்டில் எந்த மாறியைப் பொறுத்து வகையிடப்படுகிறதோ அம்மாறி பகுதியில் குறிப்பிடப்படுகிறது. எனவே பகுதி வகையிடலில் இது பெரிதும் உதவியாய் இருக்கிறது. இம்முறையில் சங்கிலி விதியை எழுதுவது அவ்விதியினை எளிதாக நினைவில் கொள்ள வசதியாக உள்ளது:

சங்கிலி விதியையும், பிரதியிடல் முறையில் தொகையிடலையும் இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி எளிதாக எழுதலாம்.

சங்கிலி விதி:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}.$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d{u}_1}\cdot \frac{d{u}_1}{d{u}_2}\cdot \frac{d{u}_2}{d{u}_3}\cdots \frac{d{u}_n}{dx},$

தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறை:

$\int ydx=\int y\frac{dx}{du}du.$