மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பின் வரைபடம்

கணிதத்தில் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு (least integer function) என்பது மெய்யெண்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்டதொரு சார்பு. இச்சார்பின் கீழ் ஒரு மெய்யெண் x இன் சார்பலன் அம்மெய்யெண்ணை விடப் பெரிய முழுஎண்களுக்குள் மிகச்சிறிய முழுஎண் ஆகும்.. மேல்மட்டச் சார்பு (ceiling function) எனவும் இச்சார்பு அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு $\lceil x\rceil .$ எடுத்துக்காட்டாக,

• $\lceil 3.1\rceil =4$
• $\lceil -3\rceil =-3$
• $\lceil -3.1\rceil =-3$

குறியீடு

கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் இருபடி நேர்எதிர்மை -குறித்த தனது மூன்றாவது நிறுவலில் (1808) மீப்பெரு முழுஎண் சார்புக்கு சதுர அடைப்புக் குறியீட்டைப் ($[x]$) பயன்படுத்தினார் கென்னத் இ. ஐவர்சன் 1962 ஆம் ஆண்டு மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு மற்றும் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு ஆகிய இரு சார்புகளையும், மற்றும் அவற்றின் குறியீடுகளாக $\lfloor x\rfloor ,$ $\lceil x\rceil$ ஆகிய இரண்டையும் அறிமுகப்படுத்தும்வரை இக்குறியீடே பயன்படுத்தப்பட்டு வந்தது. தற்போது இருவிதமான குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வரையறையும் பண்புகளும்

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது

$\lceil x\rceil =\min \{n\in \mathbb{Z}\mid n\ge x\}.$

ஓரலகு நீளமுள்ள பாதி திறந்த இடைவெளியில் ஒரேயொரு முழுஎண் மட்டுமே இருக்கும் என்பதால், x என்ற மெய்யெண்ணுக்கு,

$x-1<m\le x\le n<x+1.$

என்றவாறு m , n என இரு தனித்த முழுஎண்கள் அமைகின்றன. இதனைப் பயன்படுத்தி மீச்சிறு முழுஎண் சார்பின் வரையறையைப் பின்வருமாறும் கூறலாம்:

$\lceil x\rceil =n$

• $\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n$ (n ஒரு முழு எண்)
• $\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\le \lceil x+y\rceil \le \lceil x\rceil +\lceil y\rceil$ (x, y இரு மெய்யெண்கள்)
• $\lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil$ (மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு ஒரு தன்னடுக்குச் சார்பு)

மீப்பெரு முழுஎண் சார்புடன் தொடர்பு

• $\lceil x\rceil \ge \lfloor x\rfloor$

x முழு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இதில் சமக்குறி உண்மையாகும். அதாவது:

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{ if }x\in ̸\mathbb{Z}\end{array}$

• $\begin{array}{cc}\lceil -x\rceil +\lfloor x\rfloor & =0\\ \lceil -x\rceil & =-\lfloor x\rfloor \\ -\lceil x\rceil & =\lfloor -x\rfloor \end{array}$

• $\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor =\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }x\in \mathbb{Z}\\ -1& \text{ if }x\in ̸\mathbb{Z},\end{array}$

• $\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil =\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{ if }x\in ̸\mathbb{Z}.\end{array}$

தொடர்ச்சி

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு தொடர்ச்சியான சார்பல்ல; எனினும் அது கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் துண்டுவாரி மாறிலிச் சார்பாகவும் அமையும். கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் தரப்பட்டுள்ள வரைபடத்திலிருந்து இவ் விவரத்தைக் காணலாம்.

வெளி இணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:Springer
• Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008
• வார்ப்புரு:MathWorld
• வார்ப்புரு:MathWorld