தொடுகோணம்

வளைவரை (சிவப்பு) மீதுள்ள புள்ளி P இல் தொடுகோணம்: $\phi .$

வடிவவியலில் கார்ட்டீசியன் தளத்தில், ஒரு வளைவரையின் மேலமையும் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் அவ் வளைவரையின் தொடுகோணம் (tangential angle) என்பது அப் புள்ளியில் அந்த வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கும் x-அச்சிற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் ஆகும்.

சமன்பாடுகள்

• வளைவரையின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: $(x(t),y(t))$ எனில்,

$t$ எனும் புள்ளியில் தொடுகோணத்தின் வரையறை:

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)|}=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

$(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$ என்பது $(x(t),y(t))$ இன் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கிறது. தொடுகோணம் $\phi ,$ திசைவேக வெக்டர்$(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$ இன் திசையைத் தருகிறது. திசையன் $\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)|},$ அலகு தொடுகோட்டுத் திசையன் என அழைக்கப்படுகிறது.

• வளைவரையின் சமன்பாடு: $(x(s),y(s))$ என, அதன் வில்லின் நீளத்தைத் ($s$) துணையலகாகக் கொண்டும், $|x^{\prime }(s),y^{\prime }(s)|=1$ எனவும் இருந்தால்

தொடுகோணத்தின் வரையறை:

$(x^{\prime }(s),y^{\prime }(s))=(\cos \phi ,\sin \phi )$.

இவ் வகையில் வளைவின் மதிப்பு:

$\kappa ={\phi }^{\prime }(s)$ ஆகும். வளைவரை இடப்புறம் வளைந்தால் வளைவின் மதிப்பு நேர் மதிப்பாகவும், வளைவரை வலப்புறம் வளைந்தால் வளைவின் மதிப்பு எதிர் மதிப்பாகவும் இருக்கும்.

• வளைவரையின் சமன்பாடு: $y=f(x)$ எனில்,

தொடுகோணம்:

$\phi =\arctan f^{\prime }(x)$.

இங்கு தொடுகோணத்தின் மதிப்பு $-\pi /2,$ $\pi /2$ க்கு இடையில் இருக்கும்.

போலார் ஆயதொலைவுகளில்

போலார் ஆயதொலைவுகளில், தரப்பட்ட புள்ளியில், வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கும் ஆதியிலிருந்து அப்புள்ளிக்கு வரையப்பட்ட கதிருக்கும் இடைப்பட்ட கோணம், போலார் தொடுகோணம் (polar tangential angle) என வரையறைக்கப்படுகிறது. போலார் தொடுகோணம் $\psi ,$ மற்றும் புள்ளியின் போலார் ஆயதொலைவுகளின் ஒரு கூற்றான போலார் கோணம் $\theta$ மற்றும் $\phi$ மேலே வரையறுக்கப்பட்ட தொடுகோணம் எனில்,

$\psi =\phi -\theta .$

போலார் ஆயதொலைவுகளில் வளைவரையின் சமன்பாடு $r=f(\theta )$ எனில் போலார் தொடுகோணத்தின் வரையறை:

$\frac{(f^{\prime }(\theta ),f(\theta ))}{|f^{\prime }(\theta ),f(\theta )|}=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

வளைவரையின் சமன்பாடு வில்லின் நீளத்தைத் ($s$) துணையலகாகக் கொண்டமைக்கப்பட்டால் சமன்பாடு:

$r=r(s),\theta =\theta (s)$, $|r^{\prime }(s),r{\theta }^{\prime }(s)|=1$

இப்பொழுது போலார் தொடுகோணத்தின் வரையறை: $(r^{\prime }(s),r{\theta }^{\prime }(s))=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

போலார் தொடுகோணம் மாறிலியாகவுள்ள வளைவரையாக மடக்கைச் சுருள் உள்ளது.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Mathworld
• வார்ப்புரு:Mathworld
• "Notations" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• வார்ப்புரு:Cite book
• "Angle between Tangent and Radius Vector" in An elementary treatise on the differential calculus By Benjamin Williamson p222 9th ed. (1899) online