மைய விலக்களவு

புள்ளியியலிலும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டிலும் மைய விலக்களவு (central moment) என்பது ஒரு நிகழ்தகவுப் பரவலின் சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரியைப் பொறுத்த விலக்களவு ஆகும். அதாவது சராசரி மதிப்பிலிருந்து சமவாய்ப்பு மாறியானது விலகல் அளவின் குறிப்பிட்ட அடுக்கின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு ஆக அமையும். ஒரு மாறியிலமைந்த மற்றும் பல மாறிகளிலமைந்த பரவல்களுக்கு மைய விலக்களவுகளை வரையறுக்கலாம்.

ஒருமாறியலமைந்த பரவல்

மெய்மதிப்புச் சமவாய்ப்பு மாறி X இன் சராசரியைப் பொறுத்த n^வது விலக்களவு:

μ_n = E[(X − E[X])ⁿ] இதில் E என்பது எதிர்பார்ப்புச் செயலி

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி: ஒருமாறியிலமைந்த தனித்த பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு p(x) எனில், சராசரி μ வைப் பொறுத்த n^வது விலக்களவு (n^ஆம் மைய விலக்களவு):

${\mu }_n=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^n]=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x_i-\mu {)}^n{p}_i,$

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி: ஒருமாறியிலமைந்த தொடர் பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு f(x) எனில், சராசரி μ வைப் பொறுத்த n^வது விலக்களவு (n^வது மைய விலக்களவு):

${\mu }_n=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^n]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{n}f(x)dx.$

கோஷியின் பரவல் போல சராசரி வரையறுக்கப்படாத பரவல்களுக்கு மைய விலக்களவுகள் வரையறுக்கப்படவில்லை.

தொடக்க மைய விலக்களவுகள் சில:

• ${\mu }_0=1$
• ${\mu }_1=0$
• ${\mu }_2=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]=\mathrm{Var}(X)$
• மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது மைய விலக்களவுகள் கோட்டத்தையும் தட்டை அளவையும் வரையறுக்கப் பயன்படும் செந்தர விலக்களவுகளை வரையறுக்கப் பயன்படுகின்றன.

பண்புகள்

மைய விலக்களவுகளின் பண்புகள் சில:

• ${\mu }_n(X+c)={\mu }_n(X),$ c ஒரு மாறிலி.
• ${\mu }_n(cX)=c^n{\mu }_n(X).$
• X மற்றும் Y இரண்டும் சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எனில்:

${\mu }_n(X+Y)={\mu }_n(X)+{\mu }_n(Y)\text{ provided }1\le n\le 3.$

ஆதியைப் பொறுத்த விலக்களவுகளுடனான தொடர்பு

ஆதியைப் பொறுத்த விலக்களவுகளை சராசரியைப் பொறுத்த விலக்களவுகளாக மாற்ற அவசியமாக உள்ள சமயங்களில் பின்வரும் தொடர்பைப் பயன்படுத்தலாம்:

${\mu }_n=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(-1{)}^{n-j}\mu {\text{'}}_j\mu {\text{'}}^{n-j},$

இதில்

• பரவலின் சராசரி: μ;
• பரவலின் ஆதியைப் பொறுத்த j ^வதுபாகுபடுத்தல் தோல்வி (தொடரமைப்புத் தவறு): {\displaystyle விலக்களவு: \mu'_j = \int_{-\infty}^{+\infty} x^j f(x)\,dx. }

n = 2, 3, 4 (n = 1 எனில், $\mu =\mu {\text{'}}_1$):

${\mu }_2=\mu {\text{'}}_2-{\mu }^2$

${\mu }_3=\mu {\text{'}}_3-3\mu \mu {\text{'}}_2+2{\mu }^3$

${\mu }_4=\mu {\text{'}}_4-4\mu \mu {\text{'}}_3+6{\mu }^2\mu {\text{'}}_2-3{\mu }^4.$

சமச்சீர் பரவல்கள்

சமச்சீர் பரவலில் (சராசரியைப் பொறுத்த எதிரொளிப்பால் பாதிப்பற்ற பரவல்) ஒற்றை விலக்களவுகளின் மதிப்புகள் பூச்சியமாகும். n^வது மைய விலக்களவின் வாய்ப்பாட்டில் சராசரியை விட ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு சிறியதான X கொண்ட ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும், சராசரியை விட அதேயளவு அதிகளவான X கொண்ட உறுப்பும் இருக்கும். அதனால் அவை ஒன்றையொன்று நீக்கி விடும்.

பன்மாறி விலக்களவுகள்

நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு f(x,y) கொண்ட இருமாறி தொடர் நிகழ்தகவுப் பரவலின் (j,k) -வது மைய விலக்களவு (சராசரி μ = (μ_X, μ_Y)):

${\mu }_{j,k}=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^j(Y-\mathrm{E}[Y]{)}^k]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-{\mu }_X{)}^j(y-{\mu }_Y{)}^{k}f(x,y)dxdy.$