இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்

இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்ணான 21 விதங்களில் (சமச்சீரானவை ஒன்றாகக் கருத்தப்படுகின்றன) நான்கு மூலைகளிலும் மூன்று நிறங்களைக்கொண்டு தீட்டப்பட்ட சதுரங்கள். இவை இரு எதிரெதிர் மூலைகளின் 6 நிறக்கலவைகளை இணைத்து உருவாக்கப்பட்டுள்ளன.

கணிதத்தில் இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்கள் (doubly triangular numbers) என்பவை முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசையில் காணப்படும் சிறப்பு எண்களாகும். அவ்வரிசையில் இவை அமைந்துள்ள இடத்தைச் சுட்டும் சுட்டெண்களும் முக்கோண எண்களாகவே இருக்கும் என்பதே இவ்வெண்களின் சிறப்புப் பண்பாகும். அதாவது, $T_n=n(n+1)/2$ ஆனது $n$ ஆவது முக்கோண எண் எனில் $T_{T_n}$ என அமையும் எண்கள், இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்களாகும்.

தொடர்வரிசையும் வாய்பாடும்

முக்கோண எண்கள்

• இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை:

0, 1, 6, 21, 55, 120, 231, 406, 666, 1035, 1540, 2211, ...

• $n$ ஆவது இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்ணின் வாய்பாடு:

$$T_{T_n}=\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{8}.$$

பிளாய்டின் முக்கோணம்

• பிளாய்டின் முக்கோணத்தின் வரிசையிலுள்ள உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைகளின் கூட்டுத்தொகைகள் இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்களாக இருக்கும். அதாவது பிளாய்டின் முக்கோணத்தில், $n$th வரையிலான ஒவ்வொரு வரிசையிலும் அந்தந்த வரிசை உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைகளின் கூட்டுதொகையானது $n$ ஆவது இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்ணாகும்.

<poem>

1            $=1=T_1=T_{T_1}$

1            $=6=T_3=T_{T_2}$ 2 + 3

1 2 + 3         $=21=T_6=T_{T_3}$ 4 + 5 + 6

</poem>

எண் சோதிடத்தில்

சில எண் சோதிடர்களும் விவிலிய ஆய்வறிஞர்களும் ஆகாத எண்ணாகக் கருதும் 666 ஒரு இரட்டிப்பாக முக்கோண எண்ணாகும்.

$666=T_{36}=T_{T_8}$