சுருள்வு அணி

கணிதத்தில் சுருள்வு அணி அல்லது சுருள் அணி (involutory matrix) என்பது தனக்குத்தானே நேர்மாறு அணியாக உள்ள ஒரு அணியாகும். A² = I ஆக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A அணியால் பெருக்குவது ஒரு சுருள்வாக இருக்கும். ஒரு அணி மற்றும் அதன் நேர்மாறு அணி இரண்டின் பெருக்கல் முற்றொருமை அணியாக இருக்கும் என்பதால், சுருள்வு அணிகள் எல்லாம் முற்றொருமை அணியின் வர்க்கமூலங்களாக (அணிகளின் வர்க்கமூலம்) அமையும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

$a^2+bc=1$ எனில், மெய்யெண்களாலான 2 × 2 அணி $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$ ஒரு சுருள்வு அணியாக இருக்கும்.

சுருள்வு அணிகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்:

$\begin{array}{cc}𝐈=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right);& {𝐈}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ 𝐑=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right);& {𝐑}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\\ \\ 𝐒=\left(\begin{array}{ccc}+1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right);& {𝐒}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}+1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\end{array}$

இவற்றில்,

I முற்றொருமை அணி

R -ஒரு சோடி நிரல்கள் பரிமாற்றப்பட்ட முற்றொருமை அணி

சமச்சீர்

ஒரு சுருள்வு அணியானது சமச்சீர் அணியாகவும் இருந்தால் அவ்வணி ஒரு செங்குத்து அணியாகவும் இருக்கும். மறுதலையாக செங்குத்து அணியாகவும் உள்ள ஒவ்வொரு சுருள்வு அணியும் சமச்சீர் அணியாகவும் இருக்கும். இதன் சிறப்புவகையாக ஒவ்வொரு எதிரொளிப்பு அணியும் சுருள்வு அணியாக இருக்கும்.

பண்புகள்

• எந்தவொரு களத்திலமைந்த சுருள்வு அணிக்கும் அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு ±1 ஆக இருக்கும்.

• ½(A + I) என்பது ஒரு தன்னடுக்கு அணியாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, n × n வரிசையணி A ஒரு சுருள்வு அணியாகும். இதனால் சுருள்வு அணிகளுக்கும் தன்னடுக்கு அணிகளுக்கும் இடையே ஒரு இருவழிக்கோப்பு அமைகிறது.

• A , B இரு சுருள்வு அணிகள் மற்றும் AB = BA ஆக இருந்தால், AB அணியும் சுருள்வு அணியாகும்.

• A ஒரு சுருள்வு அணி எனில் அதன் ஒவ்வொரு அடுக்கும் சுருள்வு அணியாக இருக்கும். :n ஒற்றை எண் எனில், Aⁿ = A

n இரட்டை எண் எனில், Aⁿ = I