தன்னடுக்கு அணி

இயற்கணிதத்தில் தன்னடுக்கு அணி (idempotent matrix) என்பது தனக்குத்தானே பெருக்கப்படும்போது அதே அணியே விடையாகக் கிடைக்கும் அணியாகும். MM = M என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, M ஒரு தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும். MM வரையறுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டுமானால் M ஒரு சதுர அணியாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு

$2\times 2$ தன்னடுக்கு அணி:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

$3\times 3$ தன்னடுக்கு அணி:

$\left[\begin{array}{ccc}2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\end{array}\right]$

2 × 2 மெய்யெண்கள் அணி

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ என்பது ஒரு தன்னடுக்கு அணி எனில்:

• $a=a^2+bc,$
• $b=ab+bd,$ இதனை $b(1-a-d)=0$ என எழுதக் கிடைக்கும் முடிவு $b=0$ அல்லது $d=1-a,$
• $c=ca+cd,$ இதனை $c(1-a-d)=0$ என எழுதக் கிடைக்கும் முடிவு $c=0$அல்லது $d=1-a,$
• $d=bc+d^2.$

எனவே ஒரு 2 × 2 அணியானது மூலைவிட்ட அணியாக அல்லது அதன் சுவட்டின் மதிப்பு 1 ஆக இருக்கவேண்டியது அவ்வணி ஒருதன்னடுக்கு அணியாக இருப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடாகும். எனவே ஒரு 2 × 2 மூலைவிட்ட அணியானது தன்னடுக்கு அணியாக இருந்தால் $a$ , $d$ இரண்டின் மதிப்புகளும் 1 அல்லது 0 ஆக இருக்கும்.

b = c ஆக இருக்கும்போது $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right)$ அணியானது தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கவேண்டுமானால் $a^2+b^2=a$ என இருக்கவேண்டும். இதிலிருந்து a ஆனது பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.

$a^2-a+b^2=0,$ or $(a-\frac{1}{2}{)}^2+b^2=\frac{1}{4}$

இச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். இவ்வட்டத்தின் மையம் (1/2, 0); ஆரம் 1/2.

$M=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1-\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & 1+\cos \theta \end{array}\right)$ ஒரு தன்னடுக்கு அணி.

எனினும் b = c என்பது தன்னடுக்கு அணிக்கான தேவையான கட்டுப்பாடு அல்ல; $a^2+bc=a$ எனக் கொண்ட எந்தவொரு $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1-a\end{array}\right)$ அணியும் தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும்.

பண்புகள்

• முற்றொருமை அணி தவிர வேறெந்தவொரு தன்னடுக்கு அணியும் வழுவுள்ள அணியாகும்.
• முற்றொருமை அணியிலிருந்து ஒரு தன்னடுக்கு அணியைக் கழித்துப் பெறப்படும் அணியும் தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும்.

[I − M][I − M] = I − M − M + M² = I − M − M + M = I − M.

• அனைத்து இயல் எண்கள் n களுக்கும் $A^n=A$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, $A$ ஒரு தன்னடுக்கு அணியாகும்.
• தன்னடுக்கு அணியின் ஐகென் மதிப்புகள் 0 அல்லது 1 ஆக இருக்கும். தன்னடுக்கு அணியின் சுவட்டின் (முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கூடுதல்) அந்த அணியின் தரத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். மேலும் இதனால் சுவடின் மதிப்பு முழு எண்ணாக இருக்கும்.