சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)

நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஒரு சதுர அணியின் சுவடு (trace) என்பது அச்சதுர அணியின் முதன்மை மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

A ஒரு n x n சதுர அணி எனில் அதன் சுவட்டின் வரையறை:

$\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii},($a_ii ஆனது A அணியில் i ஆவது நிரை மற்றும் i ஆவது நிரலிலுள்ள உறுப்பு)

சதுர அணிகளுக்கு மட்டுமே சுவடு வரையறுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$

A இன் சுவடு:

$\mathrm{tr}(A)=a+e+i$.

பண்புகள்

• சுவடு ஒரு நேரியல் கோப்பு ஆகும்.

A , B சதுர அணிகள்; c ஒரு திசையிலி எனில்:

$\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$,

$\mathrm{tr}(cA)=c\mathrm{tr}(A)$.

• ஒரு சதுர அணியின் சுவடும் இடமாற்று அணியின் சுவடும் சமமாக இருக்கும்.

$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}})$.

• இரு அணிகளின் பெருக்கல் அணியின் சுவடு:

$\mathrm{tr}(X^{\mathrm{T}}Y)=\mathrm{tr}(X{Y}^{\mathrm{T}})=\mathrm{tr}(Y^{\mathrm{T}}X)=\mathrm{tr}(Y{X}^{\mathrm{T}})=\sum _{i,j}{X}_{ij}{Y}_{ij}$.

$\mathrm{tr}(X^{\mathrm{T}}Y)=\sum _{ij}(X\circ Y{)}_{ij}$ (ஆடமார்டு பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி).

$\mathrm{tr}(X^{\mathrm{T}}Y)=\mathrm{vec}(Y{)}^{\mathrm{T}}\mathrm{vec}(X)=\mathrm{vec}(X{)}^{\mathrm{T}}\mathrm{vec}(Y)$

A ஒரு m×n அணி; B ஒரு n×m அணி எனில்:

$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.

• அணிகளின் பெருக்கலில் அணிகளின் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் சுவடு மாறுவதில்லை:

$\mathrm{tr}(ABCD)=\mathrm{tr}(BCDA)=\mathrm{tr}(CDAB)=\mathrm{tr}(DABC)$.

சாதாரண வரிசைமாற்றத்தில் இது உண்மையாகாது:

$\mathrm{tr}(ABC)\ne \mathrm{tr}(ACB)$.

எனினும் பெருக்கப்படும் அணிகள் மூன்றும் சமச்சீர் அணிகள் எனில் எல்லா வரிசைமாற்றங்களின் கீழும் சுவடு மாறாது:

tr(ABC) = tr(A^T B^T C^T) = tr(A^T(CB)^T) = tr((CB)^TA^T) = tr((ACB)^T) = tr(ACB)

மூன்றுக்கு மேற்பட்ட அணிகளைப் பெருக்கினால் இது உண்மையாகாது.

மேலும் சில பண்புகள்:

• $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$,
• $\mathrm{tr}(cA)=c\cdot \mathrm{tr}(A)$,
• $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$,
• A ஒரு சமச்சீர் அணி; B ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:

$\mathrm{tr}(AB)=0$.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W. "Matrix Trace." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MatrixTrace.html

வெளியிணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:Springer