இடமாற்று அணி

A அணியை முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளிப்பதால் அதன் இடமாற்று அணி A^T ஐப் பெறலாம். மீண்டும் A^T ஐ மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தால் மூல அணி A கிடைக்கும்.

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஓர் அணியின் இடமாற்று அல்லது இடமாற்று அணி அல்லது நிரை-நிரல் மாற்று அணி (transpose) என்பது மூல அணியின் நிரைகளை நிரல்களாகவும் நிரல்களை நிரைகளாகவும் இடம் மாற்றுவதால் பெறப்படும் அணியாகும். A என்ற அணியின் இடமாற்று அணியின் குறியீடு: A^T ஆகும். இடமாற்று அணி A′, A^tr, ^tA A^t எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் செயல்களில் ஏதேனுமொன்றின் மூலம் இடமாற்று அணியைப் பெறலாம்:

• A அணியை அதன் முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தல்
• A இன் நிரைகளை நிரல்களாக எழுதுதல்
• A இன் நிரல்களை நிரைகளாக எழுதுதல்

இடமாற்று அணி A^T இன் i ஆவது நிரையிலும் j ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பானது, மூல அணியான A இன் j ஆவது நிரையிலும் i ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பாக இருக்கும்:

$[{𝐀}^{\mathrm{T}}{]}_{ij}=[𝐀{]}_{ji}$

A இன் வரிசை வார்ப்புரு:Nowrap எனில், A^T இன் வரிசை வார்ப்புரு:Nowrap ஆகும்.

1858 இல் பிரித்தனிய கணிதவியலாளர் ஆர்தர் கெய்லி, இடமாற்று அணியை அறிமுகப்படுத்தினார்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

பண்புகள்

A, B இரு அணிகள்; c ஒரு திசையிலி எனில், இடமாற்று அணி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

சிறப்பு வகைகள்

• ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியாகவே இருக்குமானால் அச்சதுர அணி சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

A ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:

${𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀$

• ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியின் எதிர் அணியாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணி எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:

${𝐀}^{\mathrm{T}}=-𝐀$

• சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.

A ஒரு ஹெர்மைட் அணி எனில்:

${𝐀}^{\mathrm{T}}=\overline{𝐀}$

• சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், ஒத்த மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் எதிர் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.

A ஒரு எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனில்:

${𝐀}^{\mathrm{T}}=-\overline{𝐀}$

ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி செங்குத்து அணி ஆகும்.

A செங்குத்து அணி எனில்:

${𝐀}^{\mathrm{T}}={𝐀}^{-1}$

சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் இணை நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி அலகுநிலை அணி ஆகும்.

A அலகுநிலை அணி எனில்:

${𝐀}^{\mathrm{T}}=\overline{{𝐀}^{-1}}$

மேலதிக வாசிப்புக்கு

• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book

வெளியிணைப்புகள்

• MIT Linear Algebra Lecture on Matrix Transposes வார்ப்புரு:Webarchive
• Transpose, mathworld.wolfram.com
• Transpose வார்ப்புரு:Webarchive, planetmath.org
• Khan Academy introduction to matrix transposes வார்ப்புரு:Webarchive