ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்

வார்ப்புரு:Merge கணிதத்தில் , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் (பிறகு சீனிவாச இராமானுசன் என்று பெயரிடப்பட்டது) ஆனது பகுப்பாய்வு சார்பின் மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது.

ராமானுசரின் நோட்டு புத்தகத்தில் எழுதப்பட்டு இருந்த ராமானுஜரின் தலையாய தேற்றத்தின் ஒரு பக்கம் .

தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது:

சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு $f(x)$-ன் விரிவாக்கமானது

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\varphi (k)}{k!}(-x{)}^k$$$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\varphi (k)}{k!}(-x{)}^k$$$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\varphi (k)}{k!}(-x{)}^k$

எனவே $f(x)$ $\begin{array}{c}f(x)\end{array}$ மெல்லின் உருமாற்றமானது பின்வருமாறு உள்ளது.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx=\mathrm{\Gamma }(s)\varphi (-s)$

$$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx=\mathrm{\Gamma }(s)\varphi (-s)$$$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx=\mathrm{\Gamma }(s)\varphi (-s)$

இங்கு $\mathrm{\Gamma }(s)$ என்பது காமா சார்பு ஆகும்

இது தொகைகள் மற்றும் முடிவற்ற தொடர்கள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு ராமானுசரால் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும்.

இந்தக் தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலில் ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன.

இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர் பெற்றார்.

மாற்றுவடிவ சூத்திரம்

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}(\lambda (0)-x\lambda (1)+x^2\lambda (2)-\cdots )dx=\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\lambda (-s)$

மேற்கண்ட சூத்திரத்தில் $\lambda (n)=\frac{\varphi (n)}{\mathrm{\Gamma }(1+n)}$ என்று பிரதிட்டு காமா சார்பு சமன்பட்டினை பயன்படுத்தி சுருக்கிய பின்பு .

சார்பு $\varphi$வளர்நிலைகளை பொறுத்து $0<\mathrm{Re}(s)<1$ என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும்.

நிரூபணம்

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் "உண்மை" அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் GH ஹார்டி , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாக விளக்கினார்.

பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பயன்பாடுகள்

பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை $B_k(x)$ களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:

$fracz{e}^{xz}{e}^z-1=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_k(x)\frac{z^k}{k!}$

$$\frac{z{e}^{xz}}{e^z-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_k(x)\frac{z^k}{k!}$$$\frac{z{e}^{xz}}{e^z-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_k(x)\frac{z^k}{k!}$

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன:

$$\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+a{)}^s}$$$zeta(s,a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+a{)}^s}$$\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+a{)}^s}$

$n\ge 1$க்கு $\zeta (1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n}$ என்றவாறு உள்ளது.

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})dx=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s,a)$

$$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})dx=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s,a)$$$in{t}_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})dx=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s,a)$

இது $$0<\mathrm{Re}(s)<1$$ $0<\mathrm{Re}(s)<1$க்கு உண்மையாகும் .

காமா சார்பின் பயன்பாடுகள்

காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை

$Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{x}{n})}^{-1}{e}^{x/n}$

$$\mathrm{\Gamma }(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{x}{n})}^{-1}{e}^{x/n}$$$\mathrm{\Gamma }(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{x}{n})}^{-1}{e}^{x/n}$

இது $\log \mathrm{\Gamma }(1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k)}{k}(-x{)}^k$ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும்

  $\log \mathrm{\Gamma }(1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k)}{k}(-x{)}^k$ 

$\log \mathrm{\Gamma }(1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k)}{k}(-x{)}^k$

$$\log \mathrm{\Gamma }(1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k)}{k}(-x{)}^k$$$\log \mathrm{\Gamma }(1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k)}{k}(-x{)}^k$$log\mathrm{\Gamma }(1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k)}{k}(-x{)}^k$

இங்கு$$\zeta (k)$$ என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும் .

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

$$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}\frac{\gamma x+\log \mathrm{\Gamma }(1+x)}{x^2}dx=\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\frac{\zeta (2-s)}{2-s}$$$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}\frac{\gamma x+\log \mathrm{\Gamma }(1+x)}{x^2}dx=\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\frac{\zeta (2-s)}{2-s}$

இது $$0<\mathrm{Re}(s)<1$$ $0<\mathrm{Re}(s)<1$க்கு உண்மையாகும் .உண்மையாகும்

இங்கு $s=\frac{1}{2}$$0<Re(s)<1$$s=\frac{1}{2}$ மற்றும் $s=\frac{3}{4}$ $s=\frac{3}{4}$ ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\gamma x+\log \mathrm{\Gamma }(1+x)}{x^{5/2}}dx=\frac{2\pi }{3}\zeta \left(\frac{3}{2}\right)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\gamma x+\log \mathrm{\Gamma }(1+x)}{x^{9/4}}dx=\sqrt{2}\frac{4\pi }{5}\zeta \left(\frac{5}{4}\right)$

வெளி இணைப்புகள்

• http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html
• http://arminstraub.com/files/publications/rmt.pdf