வரிசைமாற்றுக் குலம்

கணிதத்தில் ஒரு முடிவுறு கணத்தின் உறுப்புகளை வரிசைமாற்றும் எல்லா வரிசைமாற்றங்களுக்குள்ளும் ஒரு இயல்பான செயல்பாடு உண்டு. அதாவது

$\left(\begin{array}{cccccc}a& b& c& d& e& f\\ c& e& a& f& b& d\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccccc}a& b& c& d& e& f\\ a& f& c& d& b& e\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}a& b& c& d& e& f\\ c& d& a& f& e& b\end{array}\right)$

$a\to a\to c=a\to c$

$b\to f\to d=b\to d$

$c\to c\to a=c\to a$

$d\to d\to f=d\to f$

$e\to b\to e=e\to e$

$f\to e\to b=f\to b$

இவ்வியல்பான செயல்பாட்டிற்கு ஒரு கணத்தின் மேல் நாம் எடுத்துக்கொண்டிருக்கும் வரிசைமாற்றங்கள் ஒரு குலம் ஆகுமானால் அக்குலத்திற்கு வரிசைமாற்றுக் குலம் (Permutation Group) என்று பெயர். இச்செயல்பாட்டை 'வரிசைமாற்றுப் பெருக்கல்' அல்லது 'பெருக்கல்' என்றே சொல்வதும் பொருந்தும்.

(இக்கட்டுரையில் எல்லாப்பெருக்கல்களும் வலதிலிருந்து இடமாகப்போகின்றன. இதை மாற்றி வைத்துக்கொள்பவர்களும் உண்டு).

கணிதத்தில் குலக் கோட்பாட்டில் பற்பல குலங்கள் கையாளப்படுகின்றன. பொதுவாக அவை முடிவுறு குலங்கள் என்றும் முடிவுறா குலங்கள் என்றும் இருவகைப்படும். குலத்தின் அடிப்படை கணம் முடிவுறு கணமாக இருந்தால் அக்குலம் முடிவுறு குலம் எனப்படும். முடிவுறு குலங்கள் எல்லாம் ஏதோ ஒரு கணத்தின் ஒரு வரிசைமாற்றுக் குலத்திற்கு சம அமைவியமாக இருக்கும் என்பது குலக்கோட்பாட்டில் ஒரு அடிப்படை உண்மை. இதனால் வரிசைமாற்றுக் குலத்தைப்பற்றிய ஆய்வுகளும் தேற்றங்களும் குலக்கோட்பாட்டில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. வரிசைமாற்றுக்குலத்தை முதன்முதலில் பயன்படுத்தியவர் கால்வா. சமன்பாடுகளுக்குத் இயற்கணிதத்தீர்வு உண்டா இல்லையா என்ற பிரச்சினை அச்சமன்பாட்டின் மூலங்களின் வரிசைமாற்றக்குலத்தின் சில பண்புகளோடு சம்பந்தப்பட்டது என்ற அடிப்படை உண்மையைக் கண்டுபிடித்தவர் அவர்.

சமச்சீர் குலங்கள்

$\{1,2,3,4,...,n\}$ என்ற கணத்தின் எல்லா வரிசைமாற்றங்களும் ஒரு குலம் ஆகும். இது $n$ எழுத்துக்களின் சமச்சீர் குலம் (Symmetric Group on n letters) எனப்பெயர் பெறும். இதற்குக் குறியீடு $S_n$. இதனில்

முற்றொருமை = $\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& .....& n\\ 1& 2& 3& 4& ....& n\end{array}\right)$

ஒரு வரிசைமாற்றம் $p$ இன் நேர்மாறு எளிதில் எழுதப்படமுடியும்:

${\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& ...& n\\ p(1)& p(2)& p(3)& ...& p(n)\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}p(1)& p(2)& p(3)& ...& p(n)\\ 1& 2& 3& ...& n\end{array}\right)$

இந்த குலத்தின் கிரமம் = $n!.$

ஒரு வரிசைமாற்றக்குலத்தின் உறுப்புகளை சுழல்களாகவும் எழுதலாம்.கீழுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் எல்லா வரிசைமாற்றங்களும் சுழல்களாக எழுதப்பட்டிருக்கின்றன.

சில எடுத்துக்காட்டுகள்

• $S_3:$ இதன் உறுப்புகள் : $I;(abc);(acb);(a)(bc);(b)(ca);(c)(ab).$

$(abc)(acb)=I$, ஏனென்றால்,

$a\to c\to a=a\to a$

$c\to b\to c=c\to c$

$b\to a\to b=b\to b$

$a(bc)\circ b(ca)=(abc)$, ஏனென்றால்,

$a\to c\to b=a\to b$

$b\to b\to c=b\to c$

$c\to a\to a=c\to a$

இம்முறையில் எல்லா பெருக்கல்களையும் கணித்து கீழே அட்டவணையாகக் கொடுக்கப்பட்டிருக்கிறது.

	e	a(bc)	b(ca)	c(ab)	(abc)	(acb)
e	e	a(bc)	b(ca)	c(ab)	(abc)	(acb)
a(bc)	a(bc)	e	(abc)	(acb)	b(ac)	c(ab)
b(ca)	b(ca)	(acb)	e	(abc)	c(ab)	a(bc)
c(ab)	c(ab)	(abc)	(acb)	e	a(bc)	b(ca)
(abc)	(abc)	c(ab)	a(bc)	b(ca)	(acb)	e
(acb)	(acb)	b(ca)	c(ab)	a(bc)	e	(abc)

6 ஆவது கிரமமுள்ள இக்குலம் தான் மீச்சிறு பரிமாறாக்குலம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு