ஒற்றை, இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள்

கணிதத்தில், வரிசைமாற்றங்கள் ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றங்கள், (Odd permutations) இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் (Even permutations) என இருவகைப்படும்.ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றமும் அது எத்தனை இடமாற்றங்களின் சேர்வையாக இருக்கிறது என்பதைப் பொருத்து அது ஒற்றைப்படையாகவோ இரட்டைப்படையாகவோ வகைப்படுத்தப்படும். எடுத்துக்காட்டாக

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 3& 5& 1\end{array}\right)=(3)(1245)=(15)(14)(12)=$ மூன்று இடமாற்றங்களின் சேர்வை

இதனால் இது ஒரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றம்.

மாறாக,

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 2& 5& 1& 3\end{array}\right)=(14)(235)=(2)(14)(35)=$ இரண்டு இடமாற்றங்களின் சேர்வை

இதனால் இது ஒரு இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.

வரிசைமாற்றத்தின் குறி

ஒரு வரிசைமாற்றம் $A$-இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: $sgn(A)$ அல்லது $ϵ(A).$

$\chi :S_n\to \{+1,-1\}$

$A\mapsto sgn(A)$

தேற்றம்: சமச்சீர்குலம் $S_n$ க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற்குலம் $C_2=\{+1,-1\}$ க்கும் இடையில் $\chi$ என்ற மேற்சொன்ன கோப்பு, ஒரு காப்பமைவியம் (homomorphism).

மாறிசைக்குலம்

இதனால் இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) $S_n$ இன் உட்குலமாகும். இந்த உட்குலத்திற்கு $n$ பொருள்களின் மாறிசைக்குலம் (Alternating Group on n objects) எனப் பெயர். இதற்குக் குறியீடு: $A_n$ . இதனுடைய கிரமம்: $n!/2.$ இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; $n$-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.

எடுத்துக்காட்டு

$S_4$ இல் 24 உறுப்புகள் உள்ளன. $A_4$ இன் 12 உறுப்புகள் (அ-து, 4-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம்) பின்வருமாறு:

$e$ ; $(1)(234);(1)(243);$

$(2)(341);(2)(314);(3)(124);(3)(142);(4)(123);(4)(132$

$(12)(34);(13)(24);(14)(23)$.

விளைவுகள்

• இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல் ஓர் ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றம்.
• ஒற்றைப்படை நீளமுள்ள சுழல் ஓர் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.
• ஒரு வரிசைமாற்றம் அதனுடைய வெட்டில்லாத சுழல் வடிவத்தில் இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல்கள் ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் இருந்தால், இருந்தால்தான், அது ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாக இருக்கும்.

எ.கா.: $S_{16}:$

$\sigma =(135)(724)(106)(81116159)(14)(1213)$

இதனில் 2 இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல்கள் இருப்பதால், $\sigma$ ஓர் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• மாறிசைக் குலம்