மாறிசைக்குலம்

வார்ப்புரு:Groups ஒரு $n$ குறியீடுகளின் மாறிசைக்குலம் (Alternating Group on n objects) என்பது கணிதத்தில், குறிப்பாக, குலக்கோட்பாட்டில், சமச்சீர் குலம் S_n இன் ஒரு முக்கியமான உட்குலம். அது முடிவுறு கணம் {$1,2,...,n$} இனுடைய இரட்டை வரிசைமாற்றங்களின் குலமாகும்.

வரிசைமாற்றத்தின் குறி

ஒரு வரிசைமாற்றம் $A$-இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: $sgn(A)$ அல்லது $ϵ(A).$ இப்பொழுது சமச்சீர் குலம் $S_n$ க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற் குலம் $C_2=\{+1,-1\}$ க்கும் இடையில் $\chi$ என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character Map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,

$\chi :S_n\to \{+1,-1\}$

$A\mapsto sgn(A)$

இது ஒரு காப்பமைவியம் (homomorphism). இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) தான் $n$ பொருள்களின் மாறிசைக்குலம் . இதற்குக் குறியீடு: $A_n$ . இதனுடைய கிரமம்: $n!/2.$ இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; $n$-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.

எடுத்துக்காட்டு

$S_4$ இல் 24 உறுப்புகள் உள்ளன. $A_4$ இன் 12 உறுப்புகள் (அ-து, 4-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம்) பின்வருமாறு:

$e$ ; $(1)(234);(1)(243);$

$(2)(341);(2)(314);(3)(124);(3)(142);(4)(123);(4)(132)$

$(12)(34);(13)(24);(14)(23)$.

அடித்தளப்பண்புகள்

n ≤ 3 என்றால், என்றால்தான், $A_n$ ஒரு பரிமாற்றுக் குலம் ஆகும்

அதே போல், $n=3$ or $n\ge 5$என்றால், என்றால் தான், $A_n$ ஒரு எளிமைக் குலம் (Simple Group).

குறிப்பிடத்தக்க விஷயம்: $A_5$தான் பரிமாற்றாக் குலங்களில் மீச்சிறு எளிமைக்குலம். அதன் கிரமம் 60. இது இருபதுமுகிக் குலம் என்றும் சொல்லப்படும். நான்முகிக் குலம் என்று சொல்லப்படும் $A_4$ இல் {$(12)(34);(13)(24);(14)(23)$ மற்றும் I} ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் (normal subgroup) உள்ளபடியால் அது எளிமைக் குலமாகாது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சமச்சீர் குலம்