இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை

வகை நுண்கணிதத்தில் இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை (second derivative test), சார்பின் ஒரு நிலைப் புள்ளியில், இடஞ்சார்ந்தபெருமம் அல்லது சிறுமம் உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது.

இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனையின் கூற்று:

சார்பு f , அதன் x, என்ற நிலைப் புள்ளியில் ($f^{\prime }(x)=0$) இருமுறை வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால்:

• $f^{\prime \prime }(x)<0$ எனில், $x$ -ல் $f$ க்கு இடஞ்சார்ந்த பெருமம் உண்டு.
• $f^{\prime \prime }(x)>0$ எனில், $x$ -ல் $f$ க்கு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் உண்டு.
• $f^{\prime \prime }(x)=0$ எனில் இச் சோதனை, $x$ புள்ளியின் தன்மையைப் பற்றி எதுவும் கணிப்பதில்லை. ஒருவேளை அப்புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாக அமையலாம்.

நிறுவல்

$f^{\prime \prime }(x)>0$ என்க.

$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)}{h}.$

ஃ போதுமான அளவு சிறிய h -க்கு:

$\frac{f^{\prime }(x+h)}{h}>0.$

எனவே:

• h < 0 எனில், $f^{\prime }(x+h)<0.$ அதாவது x -ன் இடதுபுறத்தில் f, குறையும் சார்பு.
• h > 0 எனில், $f^{\prime }(x+h)>0.$ அதாவது x -ன் வலப்புறம் f, கூடும் சார்பு.

எனவே முதல் வகைக்கெழுச் சோதனையின்படி, சார்பு $f$ -க்கு, $x$ புள்ளியில் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் உள்ளது..

இதேபோல் $f^{\prime \prime }(x)>0$ -க்கும் நிறுவலாம்.

குழிவுத்தன்மை சோதனை

இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை மூலம் ஒரு சார்பின் குழிவுத்தன்மையையும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளியையும் தீர்மானிக்கலாம்.

முதலில் $f^{″}(x)=0$ ஆகும் புள்ளிகளைக் காண வேண்டும். பின் ஒவ்வொரு புள்ளியின் அண்மையகத்திலும் $f^{″}(x)$ மதிப்புகளைக் காண வேண்டும். ஒரு புள்ளியின் அண்மையகத்தில் $f^{″}(x)<0$ எனில் அங்கு சார்பு $f(x)$ கீழ்நோக்கிக் குழிவு. ஒரு புள்ளியின் அண்மையகத்தில் $f^{″}(x)>0$ எனில் சார்பு $f(x)$ மேல்நோக்கிக் குழிவு.

எதிர்மாறான குழிவுத்தன்மைகள் கொண்ட இடைவெளிகளைப் பிரிக்கும் புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாகும். இதை சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவைக் கொண்டு தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளியில் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழு (ஐந்தாம், ஏழாம்,..., ஒற்றை வரிசை வகைக்கெழுக்கள்) பூச்சியமில்லாமல் இருக்கும்.ஒரு நிலைப்புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாக இருக்குமானால் அப்புள்ளிக்கு இருபுறமும் சார்பின் குழிவுத்தன்மை மாறும். அதாவது இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறி புள்ளியின் இருபுறமும் குறியில் மாறுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு: (0,0) $f(x)=x^3$ சார்புக்கு (0,0) ஒருவளைவுமாற்றுப் புள்ளி. ஏனென்றால் $f^{\prime \prime }(0)=0$, $f^{\prime \prime }(-1)<0,$ $f^{\prime \prime }(1)>0.$.மேலும் $f^{\prime \prime \prime }(0)$ பூச்சியமல்ல.

பலமாறிகளில் அமைந்த சார்பு

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்கு இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை, நிலைப் புள்ளியில் அமையும் ஹெஸியன் அணியின் ஐகன் மதிப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட சோதனையாகப் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது. நிலைப்புள்ளி x -ன் அண்மையகத்தில், சார்பின் அனைத்து இரண்டாம் வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்களும் தொடர்ச்சியாக இருப்பதாக எடுத்துக்கொண்டால்:

• x -ல் ஹெசியன் அணியின் ஐகன் மதிப்புகள் அனைத்தும் நேர்மம் எனில் x ஒரு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம்.
• x -ல் ஹெசியன் அணியின் ஐகன் மதிப்புகள் அனைத்தும் எதிர்மம் எனில் x ஒரு இடஞ்சார்ந்த பெருமம்.
• x -ல் ஹெசியன் அணியின் ஐகன் மதிப்புகளில் சில நேர்மமாகவும் சில எதிர்மமாகவும் இருந்தால் x ஒரு சேணப் புள்ளி.
• ஹெசியன் அணி வழுவுள்ள அணி எனில் இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை எந்தவொரு முடிவையும் தருவதில்லை.

மேற்கோள்கள்

• Second Derivative Test from Mathworld
• Concavity and the Second Derivative Test வார்ப்புரு:Webarchive
• Thomas Simpson's use of Second Derivative Test to Find Maxima and Minimaat