சார்புகளின் தொகுப்பு

f மற்றும் g -சார்புகளின் இணைப்புச் சார்பு வார்ப்புரு:Nowrap.
வார்ப்புரு:Nowrap.

கணிதத்தில் சார்புகளின் தொகுப்பு அல்லது சார்புகளின் இணைப்பு (composition of functions) என்பது ஒரு சார்பின் விளைவின் மீது மற்றொரு சார்பைப் பயன்படுத்துவதாகும். வார்ப்புரு:Nowrap மற்றும் வார்ப்புரு:Nowrap என்ற இரு சார்புகளை எடுத்துக்கொண்டால், f சார்பின்படி உள்ளீடு x -ன் வெளியீடு f(x) -ஐ g சார்பின் உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு அதற்குரிய வெளியீட்டைக் கணக்கிடுவது இவ்விரு சார்புகளின் தொகுப்பாகும்.

தொகுப்புச் சார்பு வார்ப்புரு:Nowrap: வார்ப்புரு:Nowrap பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$g\circ f(x)=g(f(x)),$ $\mathrm{\forall }a\in 𝕏$

சேர்ப்புப் பண்பு:

சார்புகளின் தொகுப்பு சேர்ப்புப் பண்புடையது.

f, g, மற்றும் h மூன்றும் தகுந்த ஆட்களம், இணையாட்களம் கொண்ட மூன்று சார்புகள் எனில்:

$g\circ (f\circ h)=(g\circ f)\circ h$

அடைப்புக்குறிகளை இடம் மாற்றுவதால் எந்தவொரு பாதிப்பும் இராது என்பதால் இக்கூற்றை அடைப்புக்குறிகள் இல்லாமலும் எழுதலாம்.

பரிமாற்றுப் பண்பு:

$g\circ f=f\circ g$ எனில் g மற்றும் f ஆகிய இரு சார்புகளும் பரிமாற்றத்தக்க சார்புகள்.

பொதுவாக, சார்புகளின் தொகுப்புக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. சில குறிப்பிட்ட சார்புகள் மட்டுமே அதுவும் சில சிறப்புச் சூழ்நிலைகளில் மட்டுமே பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டிருக்கும்.

$x\ge 0$ என்னும்போது மட்டுமே

$\left|x\right|+3=|x+3|$ என்பது உண்மை.

எடுத்துக்காட்டு

முக்கோணம் EFA -ஐ முக்கோணம் ATB -ஆக மாற்றும் வடிவொப்புமை உருமாற்றமானது ஒத்தநிலை உருமாற்றம் வார்ப்புரு:Math  மற்றும் சுழற்சி உருமாற்றம் வார்ப்புரு:Math ஆகிய இரு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பாகும். இவ்விரு உருமாற்றங்களின் மையங்கள் ஒரே புள்ளி(S) ஆகும். வார்ப்புரு:Math  -சுழற்சியால் A  -ன் எதிருரு U, அதாவது, வார்ப்புரு:Nowrap மேலும் வார்ப்புரு:Nowrap, வார்ப்புரு:Nowrap

t நேரத்தில் ஒரு வானூர்தி பறக்கும் உயரத்தைக் குறிக்கும் சார்பு h(t) மற்றும் x உயரத்தில் இருக்கக்கூடிய ஆக்ஸிஜனின் அளவைக் குறிக்கும் சார்பு c(x) எனில், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு வார்ப்புரு:Nowrap , t நேரத்தில் அந்த வானூர்தியைச் சுற்றியுள்ள பகுதியின் ஆக்ஸிஜன் அளவைக் குறிக்கும்.

சார்பின் அடுக்குகள்

$Y\subseteq X$ எனில் $f:X\to Y$ சார்பை அதனுடனேயே தொகுக்கலாம்.

அவ்வாறு செய்யப்படும் தொகுப்புச் சார்பின் குறியீடு: $f^2$.

$(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^2(x)$

$(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^3(x)$

ஒரு சார்பை அச்சார்புடனேயே மீண்டும் மீண்டும் தொகுப்பு காண்பது சார்புத் தொடர்தல் எனப்படும்.

$f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1},$ $n$ இயல் எண்

• $f^0=i{d}_{D(f)}$ ($f)$ -ன் ஆட்களத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு).
• $f:X\to X$ நேர்மாற்றத்தக்கது மற்றும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு $(f^{-1}$ எனில்:

$f^{-k}=f^{-1}{)}^k$ $(k>0)$

குறிப்பு: f -ன் மதிப்புகள் ஒரு வளையத்தில் அமையுமானால் f ⁿ என்பது சார்புத் தொடர்தலை மட்டுமில்லாது f, -ன் n மடங்கினையும் குறிக்கலாம்:

வார்ப்புரு:Nowrap.

எடுத்துக்காட்டு:

வார்ப்புரு:Nowrap.

இங்கும் எதிரெண் அடுக்குகள், குறிப்பாக −1, மடங்கைக் குறிக்காமல் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கும்:

tan⁻¹ = arctan (≠ 1/tan).

மாற்றுக் குறியீடுகள்

• பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்கள் வார்ப்புரு:Nowrap என்பதற்குப் பதில் தொகுப்புக் குறி சிறுவட்டத்தை விட்டுவிட்டு gf எனக் குறிக்கின்றனர்.
• இருபதாம் நூற்றாண்டின் இடைக்காலத்தில் சில கணிதவியலாளர்கள், முதலில் சார்பு f ஐயும் அடுத்து சார்பு g -ஐயும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைச் சொல்வதற்கு வார்ப்புரு:Nowrap எனக் குறித்தல் குழப்பத்தை ஏற்படுத்துகிறது என எண்ணி குறியீட்டை மாற்றுவதற்கு முற்பட்டனர். அவர்கள் "f(x)" என்பதற்குப் பதிலாக "xf"எனவும் மற்றும் "g(f(x))" என்பதற்குப் பதிலாக "(xf)g" எனவும் பயன்படுத்தினர்.

வெளி இணைப்புகள்

• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.