தேரப்பெறா வடிவம்

கணிதத்தில் தேரப்பெறா வடிவம் (indeterminate form) என்பது சார்புகளின் எல்லை காணும்பொழுது கிடைக்கும் இயற்கணித கோவைகளாகும். அடிப்படை இயற்கணிதச் செயல்களைக் கொண்ட எல்லைகளின் மதிப்புகளைக் காணும் போது, அவற்றிலுள்ள உட்கோவைகளின் எல்லை மதிப்புகளைப் பிரதியிடப்படுகின்றன. இவ்வாறு பிரதியிட்ட பின் கிடைக்கும் கோவையால் மூல எல்லையின் மதிப்பைத் தீர்மானிப்பதற்கான விவரத்தைத் தர இயலவில்லை எனில் அது தேறப்பெறா வடிவம் எனப்படும்.

தேரப்பெறா வடிவங்கள்:

0⁰, 0/0, 1^∞, ∞ − ∞, ∞/∞, 0 × ∞, மற்றும் ∞⁰.

விளக்கம்

தேரப்பெறா வடிவத்திற்கு ஒரு முக்கிய எடுத்துக்காட்டு:

0/0

x இன் மதிப்பு 0 ஐ நெருங்கும்போது கீழ்க்காணும் மூன்று விகிதங்களின் மதிப்புகள்:

x/x³ மதிப்பு $\mathrm{\infty }$, ஆகவும்,

x/x மதிப்பு 1 ஆகவும்,

x²/x 0 ஆகவும் இருக்கும்.

ஆனால் ஒவ்வொன்றிலும் தொகுதி மற்றும் பகுதிகளின் எல்லைகளைத் தனித்தனியே கண்டுபிடித்துப் பிரதியிட மூன்று விகிதங்களின் மதிப்புகளும் 0/0 என ஆகும். எனவே 0/0 இன் மதிப்பு 0 அல்லது 1 அல்லது $\mathrm{\infty }$ ஆகிய மூன்றில் எதுவாகவும் இருக்கலாம். இதனால் தான் 0/0 தேரப்பெறா வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

x இன் மதிப்பு ஏதேனுமொரு c ஐ நெருங்கும்போது, சார்புகள் f மற்றும் g ஆகிய இரு சார்புகளின் மதிப்பும் பூச்சியமாகும் என்பதைக் கொண்டு,

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}.$ இன் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க முடியாது. f மற்றும் g சார்புகளைப் பொறுத்து, இவ்வெல்லையின் மதிப்பு எந்தவொரு எண்ணாகவும் ஒருங்கலாம் அல்லது முடிவிலிக்கு விரியலாம்.

மதிப்புக் காணல்

லாபிதாலின் விதி

0/0 மற்றும் ∞/∞ வடிவங்களுக்கு லாபிதாலின் விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இவ்விதியின் கூற்று:

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$

இதில் f' , g' இரண்டும் முறையே f , g இன் வகைக்கெழுக்கள்.

ஏனைய தேரப்பெறாத வடிவங்களுக்கும் முறையான மாற்றங்கள் மூலம் இவ்விதியைப் பயன்படுத்த முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு: 0⁰ வடிவம்:

$\ln \underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}.$

வலது புறமுள்ள வடிவம் ∞/∞ என்பதால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.

தேரப்பெறா வடிவங்களின் பட்டியல்

தேராப்பெறா வடிவங்களும் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தத் தக்க மாற்றங்களும்:

தேரப்பெறா வடிவங்கள்	நிபந்தனைகள்	0/0 வடிவிற்கு மாற்றம்	∞/∞ வடிவிற்கு மாற்றம்
0/0	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	—	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
∞/∞	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$	—
0 × ∞	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/f(x)}$
1∞	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$
00	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0^{+},\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
∞0	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
∞ − ∞	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\ln \underset{x\to c}{\lim }\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}$

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W. "Indeterminate." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Indeterminate.html