எல்லை (கணிதம்)

கணிதத்தில் எல்லை (limit) என்பது ஒரு சார்பு அல்லது தொடர்வரிசையில், சார்பின் உள்ளீடு அல்லது தொடர்வரிசையின் சுட்டெண்ணானது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை அணுகும்போது அச்சார்பு அல்லது தொடர்வரிசை அணுகும் மதிப்பைக் குறிக்கிறது. நுண்கணிதம் மற்றும் பகுவியலில் எல்லைகள் முக்கியமானவை. மேலும் தொடர்ச்சியான சார்பு, வகையிடல் மற்றும் தொகையீடு ஆகியவற்றை வரையறுப்பதற்கும் எல்லைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பொதுவாக சார்பின் எல்லை கீழுள்ளவாறு குறிக்கப்படுகிறது:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L,$

இது, வார்ப்புரு:Mvar மாறியின் மதிப்பானது வார்ப்புரு:Mvar ஐ நெருங்கும்போது சார்பு வார்ப்புரு:Math சார்பின் மதிப்பு = வார்ப்புரு:Math" என வாசிக்கப்படுகிறது.

உண்மையில் வார்ப்புரு:Mvar மாறியின் மதிப்பானது வார்ப்புரு:Mvar ஐ நெருங்கும்போது சார்பு வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Math" ஐ நோக்கி நெருங்குவதால் சில சமயங்களில் சார்பின் எல்லை வலப்பக்க அம்புக்குறிகொண்டும் குறிக்கப்படுகிறது:

$f(x)\to L\text{ as }x\to c$

இது, வார்ப்புரு:Mvar மாறியின் மதிப்பானது வார்ப்புரு:Mvar ஐ நெருங்கும்போது சார்பு வார்ப்புரு:Math சார்பின் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math" ஐ நெருங்குகிறது என வாசிக்கப்படுகிறது.

சார்பின் எல்லை

ஒரு புள்ளி வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Mvar இலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar தொலைவுக்குள் இருக்கும்போது வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Mvar இலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar தொலைவுக்குள் இருக்கும்.

வார்ப்புரு:Math ஆகவுள்ள அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math இலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar தொலைவுக்குள் இருக்கும்.

வார்ப்புரு:Math ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு மற்றும் வார்ப்புரு:Mvar ஒரு மெய்யெண் எனில்,

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

வார்ப்புரு:Mvar ஐத் தேவையான அளவு வார்ப்புரு:Mvar க்கு மிகஅருகில் நெருங்கினால், வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு தேவையான அளவு வார்ப்புரு:Math க்கு மிகஅருகாமையில் நெருங்கும் என்பது இதன் பொருளாகும். "வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Mvar ஐ நெருங்கும்போது வார்ப்புரு:Math இன் எல்லைமதிப்பு வார்ப்புரு:Math" என இவ்வரையறை வாசிக்கப்படும்.

1821 இல் அகுஸ்டின்-லூயி கோசியும் அவரைத் தொடர்ந்து கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசும் ஒரு சார்பின் எல்லைக்கான வரையறையை (எல்லையின் (ε, δ) வரையறை) ஏதேனுமொரு சிறிய நேர்ம எண்ணைக் குறிக்க வார்ப்புரு:Mvar ஐப் பயன்படுத்தி முறைப்படுத்தினர்.

"வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Math க்கு மிக அருகாமையில் அமைகிறது" என்ற சொற்றொடரை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி,

• வார்ப்புரு:Math இடைவெளியில் வார்ப்புரு:Math அமைகிறது எனவும்,

தனிமதிப்பைப் பயன்படுத்தி,

• |f(x) − L| < ε. எனவும் கூறலாம்.

வார்ப்புரு:Mvar ஆனது வார்ப்புரு:Mvar ஐ நெருங்குகும்போது" என்ற சொற்றொடரைக் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்:

• வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பானது வார்ப்புரு:Math அல்லது வார்ப்புரு:Math இடைவெளிகளில் அமையும்.
• 0 < |x − c| < δ.

இதிலுள்ள முதல் சமனிலியானது வார்ப்புரு:Mvar, வார்ப்புரு:Mvar இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு வார்ப்புரு:Math விட அதிகம் மற்றும் வார்ப்புரு:Math என்பதையும், இரண்டாவது சமனிலியானது வார்ப்புரு:Mvar ஆனது of வார்ப்புரு:Mvar இலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar அளவு தொலைவுக்குள் இருக்குமென்பதையும் சுட்டுகின்றன.

வார்ப்புரு:Math என்றாலுங்கூட மேற்கண்ட சார்பின் எல்லை வரையறை உண்மையாக இருக்கும். மேலதிகமாக, சார்பு வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Mvar புள்ளியில் வரையறுக்கப்படாவிட்டாலுங்கூட இவ்வரையறை பொருந்தும்..

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

வார்ப்புரு:Math வரையறுக்கப்படவில்லை (தேரப்பெறா வடிவம்). எனினும் வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பானது 1 ஐ நெருங்கும்போது அதனையொத்து வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	வரையறுக்கப்படாதது	2.001	2.010	2.100

இந்த அட்டவணையிலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math க்கு அருகாமையில் நெருங்க நெருங்க வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math க்கு அருகே நெருங்குவதைக் காணலாம். அதாவது,

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2.$

இயற்கணிதமுறையிலும் இதனைக் காணலாம்:

$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$ (வார்ப்புரு:Math)

வார்ப்புரு:Math சார்பானது வார்ப்புரு:Mvar = 1 புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது. எனவே வார்ப்புரு:Mvar = 1 என உள்ளிட,

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=1+1=2.$

முடிவுறு மதிப்புகளில் மட்டுமன்றி முடிவுறா மதிப்புகளிலும் சார்புகளுக்கு எல்லை மதிப்புகள் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x)=\frac{2x-1}{x}$

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு மிகமிக அதிகமாகும்போது வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது. தேவையான அளவு வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பைப் பெரிதாக்குவதன் மூலம் வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பை 2 க்கு மிகவருகில் வரவைக்கலாம். எனவே வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது இச்சார்பின் எல்லை 2 ஆகும். அதாவது,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x-1}{x}=2.$

தொடர்வரிசையின் எல்லை

1.79, 1.799, 1.7999, … என்ற தொடர்வரிசையிலுள்ள எண்கள் 1.8 ஐ நெருங்குவதைக் காணலாம்.

வார்ப்புரு:Math என்பது மெய்யெண்களில் அமைந்த ஒரு தொடர்வரிசை எனில்:

ஒவ்வொரு மெய்யெண் வார்ப்புரு:Math எனும் ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும்,

|a_n − L}} < ε (அனைத்து வார்ப்புரு:Math க்கும்) என்றவாறு ஒரு இயல் எண் வார்ப்புரு:Math இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$ ஆகும் (இத்தொடர்வரிசையின் எல்லை வார்ப்புரு:Math).

இவ்வரையறையானது, "n இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது a_n தொடர்வரிசையின் எல்லை மதிப்பு L" என வாசிக்கப்படுகிறது.

அனைத்து தொடர்வரிசைகளுக்கும் எல்லை இருக்காது. எல்லை மதிப்புகொண்ட தொடர்வரிசைகள் ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள் என்றும் எல்லை மதிப்புகளற்ற தொடர்வரிசைகள் விரி தொடர்வரிசைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஒருங்கு தொடர்வரிசைக்கும் ஒரேயொரு எல்லை மதிப்பு மட்டுமே இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Citation