அடுக்குச் சராசரி

கணிதத்தில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி (generalized mean) அல்லது அடுக்குச் சராசரி (power mean) என்பது பித்தாகரசின் சராசரிகளான கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரிகளின் சாராம்சமாகும்.

வரையறை

p ஒரு பூச்சியமில்லா மெய்யெண் எனில், $x_{1}, \dots, x_{n}$ என்னும் நேர்ம மெய்யெண்களின் p -அடுக்கு கொண்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி அல்லது அடுக்குச் சராசரி:^[1]

M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{p})}^{1 / p}

p -ன் மதிப்பு பூச்சியமெனில் இச்சராசரி, பெருக்கல் சராசரியாக இருக்குமெனக் கொள்ளல் வேண்டும்:

M_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}}

மேலும் $w = \sum w_{i}$ என அமையும் நேர்ம எடைகள் $w_{i}$ -களுக்கு எடையிடப்பட்ட அடுக்குச் சராசரியினைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {(\frac{1}{w} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})}^{1 / p}

M_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sqrt[w]{\prod_{j = 1}^{n} x_{j}^{w_{j}}}

இவ்வாய்ப்பாடு எளிமையாக அமைய எடைகளை இயல்நிலைப்படுத்திக் கொள்ளலாம்:

அதாவது, $\sum_{i = 1}^{n} w_{i} = 1$

M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {(\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})}^{1 / p}

M_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}}

சம எடைகள் ( 1/n) கொண்ட தரவாகக் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் எடையிடப்படாத சராசரிகளைக் காணமுடியும். அடுக்கு, நேர்ம அல்லது எதிர்ம முடிவிலியாக இருக்கும்போது அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்பு முறையே பெரும அல்லது சிறும மதிப்பாக அமையும்(எடைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல்).

M_{\infty} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \max (x_{1}, \dots, x_{n})

M_{- \infty} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \min (x_{1}, \dots, x_{n})

சிறப்பு வகைகள்

$\lim_{p \to - \infty} M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \min {x_{1}, \dots, x_{n}}$	சிறும மதிப்பு
$M_{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}}$	இசைச் சராசரி
$\lim_{p \to 0} M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sqrt[n]{x_{1} \cdot \dots \cdot x_{n}}$	பெருக்கல் சராசரி
$M_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}$	கூட்டுச் சராசரி
$M_{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sqrt{\frac{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n}}$	இருபடிச் சராசரி
$\lim_{p \to \infty} M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \max {x_{1}, \dots, x_{n}}$	பெரும மதிப்பு

^[2]

பண்புகள்

எல்லாச் சராசரிகளையும் போல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியும் சமச்ச்சீர்தன்மை உடையது.

b ஒரு நேர்ம மெய்யெண் என்க.

$M_{p} (b x_{1}, \dots, b x_{n})$ = $b M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n})$

$M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n \cdot k}) = M_{p} (M_{p} (x_{1}, \dots, x_{k}), M_{p} (x_{k + 1}, \dots, x_{2 \cdot k}), \dots, M_{p} (x_{(n - 1) \cdot k + 1}, \dots, x_{n \cdot k}))$

சமனின்மை

p < q எனில்,

$M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) \leq M_{q} (x_{1}, \dots, x_{n})$

$x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே $M_{p}$ , $M_{q}$ இரண்டும் சமம்.

p -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,

குறிப்பாக $p \in {- 1, 0, 1}$ எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும்.

எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,

w_{i} \in (0; 1]

\sum_{i = 1}^{n} w_{i} = 1

எனவும்,

எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ $w_{i} = \frac{1}{n}$ எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.

எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை

p மற்றும் q எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:

\sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} \leq \sqrt[q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}}

இதிலிருந்து

\sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} \frac{w_{i}}{x_{i}^{p}}} \leq \sqrt[q]{\sum_{i = 1}^{n} \frac{w_{i}}{x_{i}^{q}}}

என எழுதலாம்.

இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):

\sqrt[- p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{- p}} = \sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} \frac{1}{x_{i}^{p}}}} \geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} \frac{1}{x_{i}^{q}}}} = \sqrt[- q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{- q}}

எனவே அடுக்குகள், −p மற்றும் −q -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.

பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை

q அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:

\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}} \leq \sqrt[q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}}

...................(q -நேர்மம்).

\sqrt[q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}} \leq \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}}

.....................(q -எதிர்மம்).

இருபுறமும் அடுக்கு q -க்கு உயர்த்த:

\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i} \cdot q} \leq \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}

\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q} \leq \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i} \cdot q}

இவ்விரண்டும் $x_{i}^{q}$ என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும்.

மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:

\sum_{i = 1}^{n} w_{i} \log (x_{i}) \leq \log (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i})

\log (\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}}) \leq \log (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i})

இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:

\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}} \leq \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}

எனவே எந்தவொரு நேர்ம q - மதிப்பிற்கும்:

\sqrt[- q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{- q}} \leq \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}} \leq \sqrt[q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}}

எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.

இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை

p < q - அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமனின்மை உண்மை என நிறுவ வேண்டும்:

\sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} \leq \sqrt[q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}}

p எதிர்மம், q நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:

\sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} \leq \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}} \leq \sqrt[q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}}

p , q இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:

சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:

f : ℝ_{+} \to ℝ_{+},

f (x) = x^{\frac{q}{p}}

.

f அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:

f^{″} (x) = (\frac{q}{p}) (\frac{q}{p} - 1) x^{\frac{q}{p} - 2},

f -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் q > p என்பதால் f குவிச் சார்பாக இருக்கும்.

எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:

f (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}) \leq \sum_{i = 1}^{n} w_{i} f (x_{i}^{p})

\sqrt[\frac{q}{p}]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} \leq \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}

இருபுறமும் 1/q அடுக்குக்கு உயர்த்த:

\sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} \leq \sqrt[q]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{q}}

முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி, p , q -க்குப் பதிலாக முறையே −q and −p, பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை p , q இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.

பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக

அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.

\begin{matrix} \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} = \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}} \end{matrix}

இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:

\lim_{p \to 0} \frac{\log (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})}{p} = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} \log (x_{i})

இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த:

\lim_{p \to 0} \frac{\log (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})}{p} = \lim_{p \to 0} \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} \cdot (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}) =

= \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}} \cdot \lim_{p \to 0} \sum_{i = 1}^{n} (w_{i} \cdot \log (x_{i}) \cdot x_{i}^{p}) = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} \log (x_{i})

அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:

\begin{matrix} \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} = \lim_{p \to 0} \exp (\frac{\log (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})}{p}) \\ = \exp (\lim_{p \to 0} \frac{\log (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})}{p}) = \exp (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} \log (x_{i})) = \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{w_{i}} \end{matrix}

என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.

சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு

அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, $- \infty$ மற்றும் $+ \infty$ -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும்.

அனைத்து x_i -களில் பெரும மதிப்பு - x₁, சிறும மதிப்பு - x_n என்க.

பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:

\lim_{p \to \infty} (\frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}})) = 0

p நேர்மம் எனில்:

\frac{1}{p} \ln (w_{1}) = \frac{1}{p} \ln (\frac{w_{1} x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}) \leq \frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}) \leq \frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}) = \ln (1) = 0

இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:

\lim_{p \to \infty} \frac{1}{p} \ln (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}) = \lim_{p \to \infty} \frac{1}{p} \ln (x_{1}^{p} \cdot \frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}) = \lim_{p \to \infty} (\frac{\ln (x_{1}^{p})}{p}) + \lim_{p \to \infty} (\frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}})) = \ln (x_{1}) + 0 = \ln (x_{1})

என நிறுவலாம்.

இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

\lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} = \lim_{p \to \infty} \exp (\frac{1}{p} \ln (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})) = \exp (\lim_{p \to \infty} \frac{1}{p} \ln (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})) = x_{1}

p எதிர்மம் என்க:

\lim_{p \to - \infty} (\frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}})) = 0

p < 0 எனில்:

\frac{1}{p} \ln (w_{n}) = \frac{1}{p} \ln (\frac{w_{n} x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}) \geq \frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}) \geq \frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}) = \ln (1) = 0

எனவே:

\lim_{p \to - \infty} \frac{1}{p} \ln (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}) = \lim_{p \to - \infty} (\frac{\ln (x_{n}^{p})}{p}) + \lim_{p \to - \infty} (\frac{1}{p} \ln (\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}})) = \ln (x_{n})

மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

\lim_{p \to - \infty} \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p}} = \exp (\lim_{p \to - \infty} \frac{1}{p} \ln (\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{p})) = x_{n}

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட $f$ -சராசரி

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட $f$ - சராசரியாக அடுக்குச் சராசரியை மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

M_{f} (x_{1}, \dots, x_{n}) = f^{- 1} (\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}))

சான்றுகள்

வார்ப்புரு:Reflist

வெளி இணைப்புகள்

↑ வார்ப்புரு:Cite journal
↑ வார்ப்புரு:MathWorld (retrieved 2019-08-17)

[dC2016-1] வார்ப்புரு:Cite journal

[mw-2] வார்ப்புரு:MathWorld (retrieved 2019-08-17)

[1]

[2]

அடுக்குச் சராசரி

உள்ளடக்கம்

வரையறை

சிறப்பு வகைகள்

பண்புகள்

சமனின்மை

எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை

பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை

இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை

பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக

சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட $f$ -சராசரி

சான்றுகள்

வெளி இணைப்புகள்

வழிச்செலுத்தற் பட்டி

அடுக்குச் சராசரி

வரையறை

சிறப்பு வகைகள்

பண்புகள்

சமனின்மை

எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை

பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை

இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை

பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக

சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட f-சராசரி

சான்றுகள்

வெளி இணைப்புகள்

வழிச்செலுத்தற் பட்டி

தேடு

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட $f$ -சராசரி