அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)

கணிதத்தில் அடுக்குத் தொடர் (power series) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும்:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-c)}^n=a_0+a_1(x-c{)}^1$$+a_2(x-c{)}^2+a_3(x-c{)}^3+\cdots$

இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.

இதில்:

a_n n ஆம் உறுப்பின் கெழு;

c ஒரு மாறிலி;

x ஆனது c இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பின் டெய்லர் தொடராகவே ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.

பெரும்பாலான சமயங்களில் c இன் மதிப்பு பூச்சியமாக அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots .$

எடுத்துக்காட்டுகள்

அடுக்குக்குறிச் சார்பும் (நீலம்) அதன் மெக்லாரின் தொடரின் முதல் n+1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).

• எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு மையம் c உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும்.

$f(x)=x^2+2x+3$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் $c=0$ எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:

$f(x)=3+2x+1x^2+0x^3+0x^4+\cdots$

அல்லது மையத்தை $c=1$ எனக்கொண்டால்:

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1{)}^2$$+0(x-1{)}^3+0(x-1{)}^4+\cdots$

• பெருக்குத் தொடரின் வடிவம்:

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots ,$, இவ் வாய்ப்பாடு $|x|<1$ எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.

• அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,$

சைன் சார்பின் தொடர்:

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots ,$ இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.

அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது:

$1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$

இதேபோல $x^{1/2}$ போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி $x$ ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:

$\sin (x)x+\sin (2x)x^2+\sin (3x)x^3+\cdots$

கணிதச் செயல்கள்

கூட்டலும் கழித்தலும்

f , g ஆகிய இரு சார்புகள் c எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n$ எனில்:

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n\pm b_n)(x-c{)}^n.$

பெருக்கலும் வகுத்தலும்

$f(x)g(x)=(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)$

$=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{b}_j(x-c{)}^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}\right)(x-c{)}^n.$

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-c{)}^n$

$f(x)=(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-c{)}^n)$

வகையிடலும் தொகையிடலும்

அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{(x-c)}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(n+1){(x-c)}^n$

$\int f(x)dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{(x-c)}^{n+1}}{n+1}+k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n-1}{(x-c)}^n}{n}+k.$

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:SpringerEOM

வெளி இணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:MathWorld
• வார்ப்புரு:MathWorld
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.