ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு

கணிதத்தில், குறிப்பாக எண் கோட்பாட்டில்,ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு (Euler's totient function) ஒரு முக்கியமான சார்பு.

வரையறை

$n$ ஒரு நேர்ம முழு எண் ணானால், $n$-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், $n$-ஐப் பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,$n$-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கை $\phi (n)$ எனப்படும். $\phi :n\mapsto \phi (n)$ என்ற சார்பிற்கு ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு அல்லது ஆய்லர் $\phi$-சார்பு எனப் பெயர்.

எ.கா.:

• $\phi (6)=|\{1,5\}|=2.$

• $\phi (20)=|\{1,3,7,9,11,13,17,19\}|=8$.

• சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு: $p$ ஒரு பகா எண்ணானால், $\phi (p)=p-1$.

டோஷண்ட் சார்பின் முதல் 100 மதிப்புகள்

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$\phi (n)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8
$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
$\phi (n)$	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24	16
$n$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
$\phi (n)$	40	12	42	20	24	22	46	16	42	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58	16
$n$	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
$\phi (n)$	60	30	36	32	48	20	66	32	44	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78	32
$n$	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
$\phi (n)$	54	40	82	24	64	42	56	40	88	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60	40

சார்பின் பண்புகள்

பெருக்குச்சார்பு

$m,n$ என்ற இரண்டு நேர்ம முழு எண்கள் (1 ஐத்தவிர) பொதுக்காரணியற்றதானால்,

$\phi (m)\times \phi (n)=\phi (m\times n).$

எ.கா.: $\phi (4)\times \phi (15)=2\times 8=16=\phi (60)$

பகா எண்ணின் அடுக்குகள்

$p$ ஒரு பகா எண்ணாகவும், $k$ ஓர் இயல்பெண்ணாகவும் இருக்குமானால், $p^k$ உடன் காரணிகளைப் பங்கு போட்டுக்கொள்ளும் எண்கள் $p$-இனுடைய அடுக்குகள் மட்டுமே. அவைகளில் $p^k$ ஐவிடப் பெரியதல்லாதவை : $1.p,2.p,3.p,...,p^{k-1}.p$. இதனால்,

$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^k(1-\frac{1}{p})$

எ.கா.: $\phi (81)=\phi (3^4)=3^4-3^3=3^4(1-\frac{1}{3})=54$

சார்பிற்குப் பொது வாய்பாடு

$n=\prod _{p|n}{p}^{k_p}$

$\phi (n)=\prod _{p|n}{p}^{k_p-1}(p-1)=n\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p})$

கணிப்பு

$\phi (60)=\phi (5.2^2.3)=60.(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})=16$