இயற்கணிதச் சார்பு

கணிதத்தில் இயற்கணிதச் சார்பு (algebraic function) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலமாக (root of a polynomial) வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும். பெரும்பாலும் இயற்கணிதச் சார்புகள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், பின்ன அடுக்குகளுக்கு உயர்த்தல் போன்ற இயற்கணிதச் செயல்களைக் கொண்ட முடிவுறு உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

$f(x)=1/x,f(x)=\sqrt{x},f(x)=\frac{\sqrt{1+x^3}}{x^{3/7}-\sqrt{7}{x}^{1/3}}$

எனினும் இவ்வாறு முடிவுறு கோவைகளாக எழுத முடியாத சில இயற்கணிதச் சார்புகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x{)}^5+f(x{)}^4+x=0$.

n படியில், x எனும் ஒரு மாறியில் அமைந்த இயற்கணிதச் சார்பு $y=f(x)$ ஆனது கீழ்வரும் இயற்கணிதச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்:

$a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_0(x)=0$

இதிலுள்ள கெழுக்கள் a_i(x) , பல்லுறுப்புக்கோவை x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கும். a_i க்களின் மதிப்புகள் கணம் S இல் அமைந்திருக்கும். பெரும்பாலும் $S=\mathbb{Q}$ ஆக இருக்கும். தரப்பட்ட விகிதமுறு எண்ணில், அத்தகைய ஒரு இயற்கணிதச் சார்பின் மதிப்பு, இயற்கணித எண் எனப்படும்.

இயற்கணிதச் சார்பாக இல்லாத சார்பு, விஞ்சிய சார்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

$\exp (x),\tan (x),\ln (x),\mathrm{\Gamma }(x)$.

விஞ்சிய சார்புகளின் சேர்ப்பு ஒரு இயற்கணிதச் சார்பாக அமையலாம்:

$f(x)=\cos (\arcsin (x))=\sqrt{1-x^2}$.

m மாறிகளில் அமைந்த இயற்கணிதச் சார்பானது, m + 1 மாறிகளில் அமைந்த பல்லுறுக்கோவைச் சார்பின் மூலமாக அமையும் சார்பு (y) ஆக வரையறுக்கப்படுகிறது:

$p(y,x_1,x_2,\dots ,x_m)=0.$

ஒரு மாறியிலமைந்த இயற்கணிதச் சார்புகள்

• $y-p(x)=0.$ சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவை $y=p(x)$ ஒரு இயற்கணிதச் சார்பு

• $q(x)y-p(x)=0$ சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமையும் விகிதமுறு சார்பு $y=\frac{p(x)}{q(x)}$ ஒரு இயற்கணிதச் சார்பு.

• $y^n-p(x)=0.$ சமன்பாட்டின் n ஆம் மூலமான $y=\sqrt[n]{p(x)}$ ஒரு இயற்கணிதச் சார்பு.

வரலாறு

கணிதவியலாளர் ரெனே டேக்கார்ட்டின் காலத்திலிருந்தே இயற்கணிதச் சார்பு குறித்த கருத்துக்கள் நிலவின. முதன்முதலாக, 1794 இல் கணிதவியலாளர் எட்வர்டு வார்னிங்கின் கட்டுரையில் இயற்கணிதச் சார்பு காணப்பட்டுள்ளது:

y ஆயதொலைவைக் குறிக்கும் ஒரு கணிமம், x ஆயதொலைவின் இயற்கணிதச் சார்பாக அமைந்தால், வகுத்தல், மூலம் காணல் போன்ற கணிதச் செயல்களால் தொடர் விரிவாக அதனை மாற்றிக்கொண்ட பின்னர் தொகையிட வேண்டும்.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book

வெளியிணைப்புகள்

• Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math
• வார்ப்புரு:MathWorld
• வார்ப்புரு:PlanetMath
• Definition of "Algebraic function" வார்ப்புரு:Webarchive in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science