கற்பனை அலகு

சிக்கலெண் தலத்தில் வார்ப்புரு:Math. கிடைமட்ட அச்சில் (மெய் அச்சு) மெய்யெண்களும் கற்பனை எண்கள் குத்து அச்சில் (கற்பனை அச்சு) அமைகின்றன.

கற்பனை அலகு அல்லது அலகு கற்பனை எண் (imaginary unit, unit imaginary number) என்றழைக்கப்படும் $i$ ஆனது, மெய்யெண்களை (வார்ப்புரு:Math) சிக்கலெண்களுக்கு (வார்ப்புரு:Math) நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் வார்ப்புரு:Math குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலமாவது கிடைக்கிறது.

வார்ப்புரு:Math இன் முக்கியப் பண்பு:

வார்ப்புரு:Math

வர்க்கத்தை எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால் வார்ப்புரு:Math ஒரு கற்பனை எண்ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில் வார்ப்புரு:Math என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக வார்ப்புரு:Math அல்லது கிரேக்க எழுத்தான வார்ப்புரு:Math பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

வரையறை

வார்ப்புரு:Math இன் அடுக்குகள் மீண்டும் சுழலும் மதிப்புகள்:
வார்ப்புரு:Math (நீலப் பகுதியையடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math
வார்ப்புரு:Math (நீலப் பகுதியை யடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)

வார்ப்புரு:Math இன் வரையறையானது, வார்ப்புரு:Math இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது:

$i^2=-1.$

ஆனால் வார்ப்புரு:Math இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன.

மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, வார்ப்புரு:Mathஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்த பின்னர், விளைவில் உள்ள வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிவிட வேண்டும். மேலும் வார்ப்புரு:Math இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை வார்ப்புரு:Math, 1, வார்ப்புரு:Mvar, −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிவிடலாம்:

$i^3=i^{2}i=(-1)i=-i$

$i^4=i^{3}i=(-i)i=-(i^2)=-(-1)=1$

$i^5=i^{4}i=(1)i=i$

இதேபோல சுழியற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே வார்ப்புரு:Math க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்:

$i^0=i^{1-1}=i^1{i}^{-1}=i^1\frac{1}{i}=i\frac{1}{i}=\frac{i}{i}=1$

சிக்கலெண் வார்ப்புரு:Math இன் கார்ட்டீசிய வடிவம்:

$i=0+i$ (வார்ப்புரு:Math இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் வார்ப்புரு:Math இன் போலார் வடிவம்:

வார்ப்புரு:Math, (வார்ப்புரு:Math இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு ^π/₂ ஆகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக வார்ப்புரு:Math இருக்கும்.

பண்புகள்

வர்க்க மூலங்கள்

வார்ப்புரு:Math இன் வர்க்கமூலம்

சிக்கலெண் தளத்தில் வார்ப்புரு:Math இன் இரு வர்க்கமூலங்கள்

வார்ப்புரு:Mathஇன் வர்க்க மூலத்தை கீழுள்ள இரு சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாகக் கொள்ளலாம்

$\sqrt{i}=\pm (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

வலதுபுறத்தை வர்க்கப்படுத்த:

$\begin{array}{cc}{(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))}^2& ={(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})}^2(1+i{)}^2\\ & =\frac{1}{2}(1+2i+i^2)\\ & =\frac{1}{2}(1+2i-1)\\ & =i.\\ \end{array}$

இதே முடிவை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்:

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

வார்ப்புரு:Math எனப் பதிலிட,

$e^{i(\pi /2)}=\cos (\pi /2)+i\sin (\pi /2)=0+i1=i.$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண,

$\sqrt{i}=\pm e^{i(\pi /4)},$

ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,

$\begin{array}{cc}\sqrt{i}& =\pm (\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4))\\ & =\frac{1}{\pm \sqrt{2}}+\frac{i}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\frac{1+i}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).\\ \end{array}$

வார்ப்புரு:Math இன் வர்க்கமூலம்

வார்ப்புரு:Math இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

வார்ப்புரு:Math எனப் பதிலிட:

$e^{i(3\pi /2)}=\cos (3\pi /2)+i\sin (3\pi /2)=0-i1=-i.$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:

$\sqrt{-i}=\pm e^{i(3\pi /4)},$

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

$\begin{array}{cc}\sqrt{-i}& =\pm (\cos (3\pi /4)+i\sin (3\pi /4))\\ & =-\frac{1}{\pm \sqrt{2}}+i\frac{1}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\frac{-1+i}{\pm \sqrt{2}}\\ & =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(i-1).\\ \end{array}$

வார்ப்புரு:Math இன் வர்க்கமூலத்தை வார்ப்புரு:Math ஆல் பெருக்க, வார்ப்புரு:Math இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்:

$\begin{array}{c}\sqrt{-i}=(i)\cdot (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i))\\ & =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1i+i^2)\\ & =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(i-1)\\ \end{array}$

பெருக்கலும் வகுத்தலும்

பெருக்கல்

எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும் வார்ப்புரு:Math ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:

$i(a+bi)=ai+b{i}^2=-b+ai.$

(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

வகுத்தல்

வார்ப்புரு:Math ஆல் வகுப்பது, வார்ப்புரு:Math இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்:

$\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i.$

இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை வார்ப்புரு:Math ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த:

$\frac{a+bi}{i}=-i(a+bi)=-ai-b{i}^2=b-ai.$

(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

அடுக்குகள்

வார்ப்புரு:Math இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன (வார்ப்புரு:Math ஏதேனுமொரு முழு எண்):

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i.$

எனவே,

$i^n=i^{nmod4}$

$i^n=\cos (n\pi /2)+i\sin (n\pi /2)$

வார்ப்புரு:Mvar இன் அடுக்கு வார்ப்புரு:Mvar

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

$i^i={\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)}^i=e^{i^2(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}$ ($k\in \mathbb{Z}$, முழுஎண்களின் கணம்)

இதன் முதன்மை மதிப்பு ( வார்ப்புரு:Math): :வார்ப்புரு:Math அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)

தொடர்பெருக்கம்

கற்பனை அலகுவார்ப்புரு:Math இன் தொடர்பெருக்கம்:

$i!=\mathrm{\Gamma }(1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

மேலும்,

$|i!|=\sqrt{\frac{\pi }{\sinh \pi }}$

மாற்றுக் குறியீடுகள்

• மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு வார்ப்புரு:Math அல்லது வார்ப்புரு:Math எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு வார்ப்புரு:Math எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
• பைத்தான் நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு வார்ப்புரு:Math பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• மேட்லேப் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது
• சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான (iota) (வார்ப்புரு:Math) பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

மேலும் படிக்க

• வார்ப்புரு:Cite book

வெளி இணைப்புகள்

• Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence வார்ப்புரு:Webarchive