கேய்சியின் தேற்றம்

கணிதத்தில் கேய்சியின் தேற்றம் (Casey's theorem) என்பது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தொலெமியின் தேற்றம் ஆகும். இத்தேற்றம், ஐரிய கணிதவியலாளர் ஜான் கேய்சியின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளீடிய வடிவவியலில் அமைந்த பல கூற்றுகளின் நிறுவலுக்கு இத்தேற்றம் பயன்படுகிறது.வார்ப்புரு:Rp.

தேற்றத்தின் கூற்று

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

$O$ வட்டத்தின் ஆரம் $R$; $O_1,O_2,O_3,O_4$ (இதே வரிசையில்) என்பவை ஒன்றுக்கொன்று வெட்டிக்கொள்ளாத, $O$ வட்டத்துக்குள் அதனைத் தொட்டவாறு உள்ள நான்கு வட்டங்கள்; $O_i,O_j$ வட்டங்களின் பொது வெளித்தொடுகோட்டின் நீளம் $t_{ij}$ எனில்:

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

இதன் சிதைவுவகையில் நான்கு வட்டங்களும் புள்ளிகாகக் மாறுவதால் தேற்றமும் தொலெமியின் தேற்றமாகி விடும்.

நிறுவல்

கேய்சியின் தேற்றம் சக்காரியசு என்பவரால் நிறுவப்பட்டது.

$O_i$ என்ற வட்டத்தின் ஆரம் $R_i$; அது $O$ வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி $K_i$ ஆகும். வட்டங்களின் மையங்களையும் $O,O_i$ புள்ளிகளால் குறித்துக் கொள்ளலாம்.

பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் படி:

$t_{ij}^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}-(R_i-R_j{)}^2.$

இந்நீளத்தை $K_i,K_j$ புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுவதற்கு, $O_{i}O{O}_j$ முக்கோணத்தில் கோசைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O{O}_i}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O{O}_j}}-2\overline{O{O}_i}\cdot \overline{O{O}_j}\cdot \cos \mathrm{\angle }{O}_{i}O{O}_j$

$O,O_i$ வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொடுவதால்:

$\overline{O{O}_i}=R-R_i,\mathrm{\angle }{O}_{i}O{O}_j=\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j$

$C$ என்பது $O$ வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியெனில், $K_{i}C{K}_j$ முக்கோணத்தில் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

$\overline{K_i{K}_j}=2R\cdot \sin \mathrm{\angle }{K}_{i}C{K}_j=2R\cdot \sin \frac{\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j}{2}$

எனவே,

$\cos \mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j=1-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j}{2}=1-2\cdot {\left(\frac{\overline{K_i{K}_j}}{2R}\right)}^2=1-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{2R^2}$

இவற்றை மேலுள்ள வாய்பாட்டில் பயன்படுத்த:

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=(R-R_i{)}^2+(R-R_j{)}^2-2(R-R_i)(R-R_j)(1-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{2R^2})$

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=(R-R_i{)}^2+(R-R_j{)}^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}$

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=((R-R_i)-(R-R_j){)}^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}$

இறுதியாகத் தொடுகோட்டின் நீளம்:

$t_{ij}=\sqrt{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}-(R_i-R_j{)}^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_i{K}_j}}{R}$

இடப்பக்கத்திற்கு, $K_1{K}_2{K}_3{K}_4$ நாற்கரத்தில் தொலெமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த:

$\begin{array}{cc}& t_{12}{t}_{34}+t_{14}{t}_{23}\\ =& \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}(\overline{K_1{K}_2}\cdot \overline{K_3{K}_4}+\overline{K_1{K}_4}\cdot \overline{K_2{K}_3})\\ =& \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}(\overline{K_1{K}_3}\cdot \overline{K_2{K}_4})\\ =& t_{13}{t}_{24}\end{array}$

மேலதிகப் பொதுமைப்படுத்தல்

நான்கு சிறு வட்டங்களும் பெரிய வட்டத்தினுள் மட்டுமே அமையவேண்டியதில்லை. வெளிப்புறமாகத் தட்டவாறும் அமையலாம்::

$O_i,O_j$ இரண்டும் $O$ வட்டத்தின் ஒரே பக்கமாக (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது, $t_{ij}$ ஆனது பொது வெளித்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்.

$O_i,O_j$ இரண்டும் $O$ வட்டத்தின் வெவ்வேறு பக்கத்தில் (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது, $t_{ij}$ ஆனது பொது உட்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்..

கேய்சியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும். அதாவது:

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$ உண்மையானால், நான்கு வட்டங்களும் ஒரு பொது வட்டத்தைத் தொடும்.

வெளி இணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:MathWorld
• Crux Mathematicorum volume 22 issue 2 (it contains the article above)