சார்பு எல்லை

நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துக்களில் முதன்மையானது ஒரு சார்பின் எல்லை. அருகாமை அல்லது நெருக்கம் குறித்த உணர்நிலையுடன் நெருக்கமாக இருப்பது 'எல்லை' எனும் கருத்தாக்கம். இத்தகைய நெருக்கங்களை கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல், வகுத்தல் முதலான இயற்கணித அடிப்படைச் செயல்பாடுகள் மூலம் விளக்க முடியாது. மாறுகிற ஒரு அளவையைச் சார்ந்து இன்னொரு அளவை அமையும் சூழல்களில் 'எல்லை' எனும் கோட்பாடு பயன்படுகிறது.

வரையறை

f ஆனது x-ஐச் சார்ந்த சார்பு எனவும் c, L என்பன இரண்டு நிலை எண்கள் எனவும் கொள்வோம். x-ஆனது c-ஐ நெருங்கும் போது, f(x) ஆனது L-ஐ நெருங்குமானால் L-ஐ f(x)-ன் எல்லை என்கிறோம். இதனை,

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

என எழுதுவது வழக்கம்.

விளக்கமும் எடுத்துக்காட்டுகளும்

ஒரு புள்ளி வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Mvar இலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar தொலைவுக்குள் இருக்கும்போது வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Mvar இலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar தொலைவுக்குள் இருக்கும்.

வார்ப்புரு:Math ஆகவுள்ள அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math இலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar தொலைவுக்குள் இருக்கும்.

வார்ப்புரு:Math ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு மற்றும் வார்ப்புரு:Mvar ஒரு மெய்யெண் எனில்,

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

வார்ப்புரு:Mvar ஐத் தேவையான அளவு வார்ப்புரு:Mvar க்கு மிகஅருகில் நெருங்கினால், வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு தேவையான அளவு வார்ப்புரு:Math க்கு மிகஅருகாமையில் நெருங்கும் என்பது இதன் பொருளாகும். "வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Mvar ஐ நெருங்கும்போது வார்ப்புரு:Math இன் எல்லைமதிப்பு வார்ப்புரு:Math" என இவ்வரையறை வாசிக்கப்படும்.

1821 இல் அகுஸ்டின்-லூயி கோசியும் அவரைத் தொடர்ந்து கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசும் ஒரு சார்பின் எல்லைக்கான வரையறையை (எல்லையின் (ε, δ) வரையறை) ஏதேனுமொரு சிறிய நேர்ம எண்ணைக் குறிக்க வார்ப்புரு:Mvar ஐப் பயன்படுத்தி முறைப்படுத்தினர்.

"வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Math க்கு மிக அருகாமையில் அமைகிறது" என்ற சொற்றொடரை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி,

• வார்ப்புரு:Math இடைவெளியில் வார்ப்புரு:Math அமைகிறது எனவும்,

தனிமதிப்பைப் பயன்படுத்தி,

• |f(x) − L| < ε. எனவும் கூறலாம்.

வார்ப்புரு:Mvar ஆனது வார்ப்புரு:Mvar ஐ நெருங்குகும்போது" என்ற சொற்றொடரைக் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்:

• வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பானது வார்ப்புரு:Math அல்லது வார்ப்புரு:Math இடைவெளிகளில் அமையும்.
• 0 < |x − c| < δ.

இதிலுள்ள முதல் சமனிலியானது வார்ப்புரு:Mvar, வார்ப்புரு:Mvar இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு வார்ப்புரு:Math விட அதிகம் மற்றும் வார்ப்புரு:Math என்பதையும், இரண்டாவது சமனிலியானது வார்ப்புரு:Mvar ஆனது of வார்ப்புரு:Mvar இலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar அளவு தொலைவுக்குள் இருக்குமென்பதையும் சுட்டுகின்றன.

வார்ப்புரு:Math என்றாலுங்கூட மேற்கண்ட சார்பின் எல்லை வரையறை உண்மையாக இருக்கும். மேலதிகமாக, சார்பு வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Mvar புள்ளியில் வரையறுக்கப்படாவிட்டாலுங்கூட இவ்வரையறை பொருந்தும்..

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

வார்ப்புரு:Math வரையறுக்கப்படவில்லை (தேரப்பெறா வடிவம்). எனினும் வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பானது 1 ஐ நெருங்கும்போது அதனையொத்து வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	வரையறுக்கப்படாதது	2.001	2.010	2.100

இந்த அட்டவணையிலிருந்து வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math க்கு அருகாமையில் நெருங்க நெருங்க வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு வார்ப்புரு:Math க்கு அருகே நெருங்குவதைக் காணலாம். அதாவது,

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2.$

இயற்கணிதமுறையிலும் இதனைக் காணலாம்:

$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$ (வார்ப்புரு:Math)

வார்ப்புரு:Math சார்பானது வார்ப்புரு:Mvar = 1 புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது. எனவே வார்ப்புரு:Mvar = 1 என உள்ளிட,

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=1+1=2.$

முடிவுறு மதிப்புகளில் மட்டுமன்றி முடிவுறா மதிப்புகளிலும் சார்புகளுக்கு எல்லை மதிப்புகள் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x)=\frac{2x-1}{x}$

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு மிகமிக அதிகமாகும்போது வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது. தேவையான அளவு வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பைப் பெரிதாக்குவதன் மூலம் வார்ப்புரு:Math இன் மதிப்பை 2 க்கு மிகவருகில் வரவைக்கலாம். எனவே வார்ப்புரு:Mvar இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது இச்சார்பின் எல்லை 2 ஆகும். அதாவது,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x-1}{x}=2.$