சுட்டுச் சார்பு

சதுரத்தின் இருபரிமாண உட்கணமொன்றின் சுட்டுச் சார்பின் வரைபடம்.

கணிதத்தில் சுட்டுச் சார்பு (Indicator function) அல்லது சிறப்பியல்புச் சார்பு (characteristic function) என்பது, தான் வரையறுக்கபட்ட கணத்தின் (ஆட்களம்) ஏதேனுமொரு உட்கணத்ததைச் சேர்ந்ததாக ஒரு உறுப்பு இருக்குமா இல்லையா என்பதைச் சுட்டிக் காட்டும் இயல்புடைய சார்பாகும். அதாவது f சார்பின் ஆட்களம் X எனில், அக்கணத்தின் ஓர் உட்கணம் A இன் உறுப்புகளுக்கு இச்சார்பின் மதிப்புகள் 1 ஆகவும், A உறுப்புகளாக இல்லாதவற்றுக்கு 0 ஆகவும் இருக்கும்.

நிகழ்தவு கோட்பாட்டில் சிறப்பியல்புச் சார்பு என்ற பெயர் இச்சார்புக்குப் தொடர்பில்லாமல் இருப்பதால் அங்கு சுட்டுச் சார்பு என்றே அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை

X கணத்தின் உட்கணம் A இன் சுட்டுச் சார்பு, ${\mathrm{𝟏}}_A:X\to \{0,1\}$ இன் வரையறை:

${\mathrm{𝟏}}_A(x):=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }x\in A,\\ 0& \text{if }x\notin A.\end{array}$

1_A(x) க்குப் பதிலாக [x ∈ A] என்றும் குறிக்கலாம் (Iverson bracket).

1_A சில சமயங்களில் 1_{A ∈ A}, χ_A அல்லது I_A அல்லது வெறுமனே A என்றும் குறிக்கப்படுகிறது. சிறப்பியல்பு (characteristic) என்பதன் கிரேக்கச் சொல்லின் முதல் எழுத்து χ .)

பண்புகள்

• சுட்டுச் சார்பு X இன் உறுப்புகளை வீச்சு {0,1} உடன் இணைக்கும் ஒரு கோப்பாகும்.

A ஒரு வெற்றற்ற தகு உட்கணமாக இருந்தால் மட்டுமே, இக்கோப்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கும்.

A ≡ X எனில், 1_A = 1.

A ≡ Ø எனில், 1_A = 0.

A மற்றும் $B,$ X இன் இரு உட்கணங்கள் எனில்:

${\mathrm{𝟏}}_{A\cap B}=\min \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A\cdot {\mathrm{𝟏}}_B,$

${\mathrm{𝟏}}_{A\cup B}=\max \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A+{\mathrm{𝟏}}_B-{\mathrm{𝟏}}_A\cdot {\mathrm{𝟏}}_B,$

${\mathrm{𝟏}}_{A^{\complement }}=1-{\mathrm{𝟏}}_A.$

பொதுவாக, $A_1,\dots ,A_n,$ X இன் உட்கணங்கள் எனில்,

x ∈ X:

$\prod _{k\in I}(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x))$

$\prod _{k\in I}(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k})={\mathrm{𝟏}}_{X-\bigcup _k{A}_k}=1-{\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}.$

${\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}=\sum _{\mathrm{\varnothing }\ne F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|+1}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}$

|F| என்பது F இன் அளவை எண்.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், X ஒரு நிகழ்தகவு வெளி; அதன் நிகழ்தகவு அளவு $\mathbb{P}$; A ஒரு அளவிடக்கூடிய கணம் எனில் A இன் நிகழ்தகவுக்குச் சமமான எதிர்பார்ப்பு மதிப்புடைய சமவாய்ப்பு மாறியாக 1_A இருக்கும்

$\mathrm{E}({\mathrm{𝟏}}_A)=\underset{X}{\int }{\mathrm{𝟏}}_A(x)d\mathbb{P}=\underset{A}{\int }d\mathbb{P}=\mathrm{P}(A).$

சராசரி, மாறுபாட்டெண், இணை மாறுபாட்டெண்

தரப்பட்ட நிகழ்தகவு வெளி -$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P}),$ $A\in ℱ$ எனில் சுட்டு சமவாய்ப்பு மாறி ${\mathrm{𝟏}}_A:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ இன் வரையறை:

${\mathrm{𝟏}}_A(\omega )=1,\omega \in A,$

மற்றபடி

${\mathrm{𝟏}}_A(\omega )=0.$

சராசரி: $\mathrm{E}({\mathrm{𝟏}}_A(\omega ))=\mathrm{P}(A)$

மாறுபாட்டெண்: $\mathrm{Var}({\mathrm{𝟏}}_A(\omega ))=\mathrm{P}(A)(1-\mathrm{P}(A))$

இணை மாறுபாட்டெண்: $\mathrm{Cov}({\mathrm{𝟏}}_A(\omega ),{\mathrm{𝟏}}_B(\omega ))=\mathrm{P}(A\cap B)-\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite book
• வார்ப்புரு:Cite journal
• வார்ப்புரு:Cite journal