செங்குத்து வட்டங்கள்

செங்குத்து வட்டங்கள்

இரண்டு வட்டங்கள் வெட்டிக் கொள்ளும் போது, அவை வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியில் அவற்றுக்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் செங்கோணமாக இருந்தால், அவை இரண்டும் செங்குத்து வட்டங்கள் எனப்படும். தொடுகோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் செங்கோணமாக இருப்பதால், ஒரு வட்டத்தின் தொடுகோடு இரண்டாவது வட்டத்திற்கு ஆரமாக இருக்கும். அதேபோல இரண்டாவது வட்டத்தின் தொடுகோடு முதல் வட்டத்திற்கு ஆரமாக இருக்கும். ஒரு வட்டத்திற்கு ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட வட்டங்கள் செங்குத்து வட்டங்களாக அமையலாம்.

கட்டுப்பாடு

இருவட்டங்கள் செங்குத்துவட்டங்களா என்பதைக் காண பின்வரும் கட்டுப்பாடு பயன்படும்.

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு வட்டங்களின் பொதுச் சமன்பாடுகள் கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில்:

$S_1:x^2+y^2+2g_{1}x+2f_{1}y+c_1=0$

$S_2:x^2+y^2+2g_{2}x+2f_{2}y+c_2=0$

இவை செங்குத்து வட்டங்கள் எனில்,

$2g_1{g}_2+2f_1{f}_2=c_1+c_2$ என்பது உண்மையாகும்.

நிறுவல்

$S_1:x^2+y^2+2g_{1}x+2f_{1}y+c_1=0$ இன்

மையம்: $A=(-g_1,-f_1)$

ஆரம்: $r_1=\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}$

$S_2:x^2+y^2+2g_{2}x+2f_{2}y+c_2=0$

மையம்: B = $(-g_2,-f_2)$

ஆரம்: $r_2=\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}$

இரு வட்டங்களும் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும் போது அவற்றின் மையங்கள், வெட்டும் புள்ளி மூன்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்கும். எனவே பித்தாகரசின் தேற்றப்படி மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவின் வர்க்கம் அவற்றின் ஆரங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

$A{B}^2=r_1^2+r_2^2$

$\Rightarrow (g_1-g_2{)}^2+(f_1-f_2{)}^2=(g_1^2+f_1^2-c_1{)}^2+(g_2^2+f_2^2-c_2{)}^2$

$\Rightarrow 2g_1{g}_2+2f_1{f}_2=c_1+c_2$

எடுத்துக்காட்டு

இரு வட்டங்கள்:

$S_1:x^2+y^2-8x-6y+21=0$

$S_2:x^2+y^2-2y-15=0$

$g_1=-4,f_1=-3,c_1=21$

$g_2=0,f_2=-1,c_2=-15$

செங்குத்து வட்டங்களின் கட்டுப்பாடு:

$2g_1{g}_2+2f_1{f}_2=c_1+c_2$

$\Rightarrow 2(-4)(0)+2(-3)(-1)=21+(-15)$

$\Rightarrow 6=6$

எனவே இவ்விரு வட்டங்களும் செங்குத்து வட்டங்களாகும்.

ஆதாரங்கள்

• கணிதவியல், மேல்நிலை-முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி 1, (தமிழ் வழி) தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம், திருத்திய பதிப்பு:2007

தலைப்பு:பகுமுறை வடிவியல், பக்கம்:196

• http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-TM-1.pdf வார்ப்புரு:Webarchive

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W. "Orthogonal Circles." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCircles.html