தனி ஒருங்கு தொடர்

கணிதத்தில், ஒரு முடிவற்ற எண் தொடரிலுள்ள உறுப்புகளின் தனி மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது முடிவுறு எண்ணாக இருந்தால், அத்தொடரானது தனி ஒருங்கு தொடர் (absolutely convergent series) என அழைக்கப்படும். அதாவது:

மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண்கள் தொடரான ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ ஆனது "தனி ஒருங்கு தொடராக" இருக்கவேண்டுமானால்,

${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|=L$ ,( $L.$ ஒரு மெய்யெண்) ஆக இருக்க வேண்டும்.

இதேபோல ஒரு சார்பின் தொகையீடு ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx,$ ஆனது தனி ஒருங்குவதாக இருக்கு வேண்டுமானால், ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}|f(x)|dx=L.$ ஆக இருத்தல் அவசியம்.

தனி ஒருங்கு தொடராக இல்லாததொரு ஒருங்கும் தொடரானது, "நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஒருங்கு தொடர்" (conditionally convergent) எனப்படும்.

முடிவில்லாத் தொடர்களைப் பற்றி அறிவதற்கு தனி ஒருங்குதல் மிகவும் முக்கியமான பண்பாகும். ஏனென்றால் அனைத்துத் தொடர்களுக்கும் இல்லாத முடிவுறு கூட்டுத்தொகைகள் குறித்த பண்புகளை தனி ஒருங்கும் தொடர்கள் கொண்டிருக்கும். உறுப்புகளை இடமாற்றி எடுத்துக்கொண்டாலும் ஒரு தனி ஒருங்கு தொடரின் கூட்டுத்தொகையில் மாற்றமிருக்காது. ஆனால் நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஒருங்கு தொடருக்கு இது உண்மையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக,

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$ என்ற மாற்று இசைத் தொடர் ஒரு நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஒருங்கு தொடர்; அதாவது அது தனி ஒருங்கு தொடர் அல்ல. இத்தொடரின் ஒருங்கு மதிப்பு $\ln 2,$ ஆகும்.

இத்தொடரின் உறுப்புகளை வரிசைமாற்றி எடுத்துக்கொண்ட தொடர்:

$1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\cdots$ (இரு நேர்ம உறுப்புகளும் அடுத்து ஒரு எதிர்ம உறுப்பும் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது).

இத்தொடரின் ஒருங்கு மதிப்பு, முந்தைய தொடரின் மதிப்பிலிருந்துலிருந்து மாறுபட்டு $\frac{3}{2}\ln 2.$ ஆக உள்ளது.

மெய்யெண், சிக்கலெண்களுக்கான வரையறை

வரையறை

மெய்யெண்கள் அல்லது சிக்கலெண்களின் கூட்டுத்தொகையான ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ என்பது தனி ஒருங்குவதாக இருக்கவேண்டுமானால், அதனுறுப்புகளின் தனி மதிப்புகளின் கூட்டுதொகையான ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ என்பதும் ஒருங்குதல் வேண்டும்.

எண்கள் தவிர பிற பொது உறுப்புகள்

இதே வரையறையை உறுப்புகளை எண்களாக இல்லாமல் வெவ்வேறு இடவியல் ஏபெல் குலங்களின் உறுப்புகளாகக் கொண்ட தொடர்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். அவ்வரையறையில், தனி மதிப்புகளுக்குப் பதிலாக நெறிமங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நெறிமமானது, $\Vert \cdot \Vert :G\to {ℝ}_{+}$ என்ற நேர்ம மெய்ச்சார்பாகும். இங்கு, $R_{+}$ மெய்யெண்கள் கணம்; $G$ ஒரு ஏபெல் குலம்.

குலம் $G$ இன் முற்றொருமை உறுப்பு 0 எனில்:

1. முற்றொருமை உறுப்பின் நெறிமம்: $\Vert 0\Vert =0.$
2. $\mathrm{\forall }x\in G,$ $\Vert x\Vert =0⟹<math>x=0.$
3. $\mathrm{\forall }x\in G,$ $\Vert -x\Vert =\Vert x\Vert .$
4. $\mathrm{\forall }x,y\in G,$ $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ என்ற சார்பானது, $G.$ இன் மீது ஒரு மெட்ரிக் வெளி அமைப்பைத் தருகிறது

$G$- இல் உறுப்புகளைக் கொண்ட தொடரானது, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert a_n\Vert <\mathrm{\infty }.$ என்றிருந்தால் தனி ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

பொதுச் சான்றுகள்

• Narici Beckenstein Topological Vector Spaces-edition 2
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Pietsch Nuclear Locally Convex Spaces-edition 2
• வார்ப்புரு:Cite book
• Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces-edition 1}}
• Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Wong Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products