தொடர் வட்டியும் அடுக்குமாறிலி e யும்

அடுக்குமாறிலி e க்கு முக்கியமாக நான்கு வித வரையறைகள் உண்டு. ஜாகப் பெர்னோவிலி என்பவர் அடுக்குமாறிலி e ஐ

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

என்று வரையறுத்தார். இவ்வரையறைக்கு அவர் வந்ததற்குக் காரணம் தொடர்வட்டிக் கணிப்பு தான்.

அடிப்படைக் கணிதம்

தொடர் வட்டி என்பது வட்டியை முதலுடன் சேர்த்து அடுத்த முறை வட்டி கணிக்கப் படும்போது இன்னும் பெரிய முதலுக்கு வட்டி கணிக்கப் படுவதுதான்.

P என்ற முதலுக்கு ஆண்டுக்கு r% வட்டியானால் ஆண்டு முடிவில் அதன் மதிப்பு $P(1+r/100)$ ஆகும்.

அதுவே அரையாண்டுக்கு r/2  % வட்டியானால் ஆண்டு முடிவில் அதன் மதிப்பு $P(1+r/200{)}^2$ ஆகும். இரண்டு முறைகள் இங்கு வட்டி சேர்க்கப்பட்டிருக்கிறது.

ஒவ்வொரு காலாண்டுக்கும் r/4 % வட்டியானால் ஆண்டு முடிவில் அதன் மதிப்பு $P(1+r/400{)}^4$ ஆகும்.

ஒவ்வொரு நாளுக்கும் r/365 % வட்டியானால் ஆண்டு முடிவில் அதன் மதிப்பு $P(1+r/36500{)}^{365}$ ஆகும்.

வட்டிவிகிதத்தை இவ்விதம் பகுத்துக்கொண்டே போனால் ஆண்டுமுடிவில் அதன் மதிப்பு வளர்ந்துகொண்டே போவது போல் தோன்றும்.

உண்மையில் இந்த வளர்ச்சிக்கு ஒரு எல்லை இருக்கிறது என்பது தான் கணிதத்தின் தீர்ப்பு. இதை முதலில் தெரிந்துகொண்டு உலகத்திற்குச் சொன்னவர் ஜாகப் பெர்னோவிலி. மேலேயுள்ள கணிப்பில் r/100 க்கு a என்று கொண்டால், நாம் கணிக்க முயல்வது

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{a}{n})}^n$

இந்த எல்லை தான் $e^a$. எடுத்துக்காட்டாக $r=10\mathrm{\%}$ என்றால், a = 0.1.

$e^{0.1}=1.105171$.

இதன் பொருள்: 1000 மதிப்புள்ள முதலை ஆண்டுக்கு 10% தொடர்வட்டி வீதம் மதிப்பிடும்போது வட்டியை ஒவ்வொரு கணமும் கணக்கிட்டு முதலுடன் சேர்ப்பதாக வைத்துக்கொண்டாலும், அதன் மதிப்பு 1106 க்குமேல் போகவே போகாது என்பதுதான். கீழுள்ள வாய்பாடு சில குறிப்பிட்ட n க்கு முதலும் வட்டியும் சேர்ந்த தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்பிக்கிறது.

n!	தொகை
1	1100.000
2	1102.500
3	1103.370
4	1103.813
5	1104.081
6	1104.260
...	...
100	1105.116
...	...