பகாச் சீர்மம்

முழுஎண்கள் வளையச் சீர்மங்கள் சில:
*பகாச் சீர்மங்கள்: செவ்வூதா நிறம்;
*அரைப்பகாச் சீர்மங்கள்: செவ்வூதா மற்றும் பச்சை நிறம்;
*முதனிலை சீர்மங்கள்: செவ்வூதா மற்றும் ஊதா நிறம்.

இயற்கணிதத்தில் பகாச் சீர்மம் (prime ideal) என்பது ஒரு சிறப்பு வகைச் சீர்மமாகும். இவை, ஒரு முழு எண் வளையத்திலுள்ள ஒரு பகா எண்ணுக்குரிய பண்புகளைக் கொண்டமைகின்ற சீர்மங்களாகும்.

ஒரு வளையத்தின் (வார்ப்புரு:Mvar) ஏதாவது இரு உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனானது அவ்வளையத்தின் ஒரு தகு சீர்மம் வார்ப்புரு:Mvar இன் உறுப்பாக இருந்து, அவ்விரு உறுப்புகளில் ஏதேனுமொன்று வார்ப்புரு:Mvar இன் உறுப்பாகவும் அமைந்தால், அச்சீர்மம், பகாச் சீர்மம் என அழைக்கப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு:

$R=\mathbb{Z},$ வளையத்தின் ஒரு சீர்மம்:

$I=3Z=\{\pm 3,\pm 6,\pm 9....\}$. இது ஒரு பகாச் சீர்மம் ஆகும். ஏனெனில்:

$2,3\in Z$ எனில், 2, 3 இன் பெருக்குதொகை 6 $\in 3Z$. மேலும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு எண்களிலொன்றான $3\in 3Z$.

முழுஎண்கள் வளையத்தின் பகாச் சீர்மங்கள், ஏதாவதொரு பகாஎண்ணின் மடங்குளையும் சுழியச் சீர்மத்தையும் உறுப்புகளாகக் கொண்டிருக்கும், பகாச் சீர்மங்கள், முதனிலைச் சீர்மங்களாகவும், அரைப்பகாச் சீர்மங்களாகவும் அமையும்.

பரிமாற்று வளையங்களின் பகாச்சீர்மங்கள்

வரையறை

வார்ப்புரு:Mvar என்ற பரிமாற்று வளையத்தின் ஒரு சீர்மம் வார்ப்புரு:Mvar ஆனது பகாச்சீர்மமாக இருக்கவேண்டுமெனில் அது கீழுள்ள பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்:

• வார்ப்புரு:Mvar, வார்ப்புரு:Mvar இரண்டும் வார்ப்புரு:Mvar இன் இரு உறுப்புகள். மேலும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Mvar இன் ஓருறுப்பு எனில், வார்ப்புரு:Math அல்லது வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Mvar இன் உறுப்பாக இருக்கும்.
• வார்ப்புரு:Mvar ஆனது வார்ப்புரு:Mvar க்குச் சமமானதாக இருக்காது; அதாவது, வார்ப்புரு:Mvar ஆனது வார்ப்புரு:Mvar இன் தகு உட்கணமாக இருக்கும்.

மேலுள்ள பகாச் சீர்மத்துக்கான பண்புகள், கீழ்வரும் பகாஎண்களுக்கானப் பண்பினைப் (யூக்ளிடிய முற்கோள்) பொதுமைப்படுத்தலாக அமைவதைக் காணலாம்:

வார்ப்புரு:Math ஒரு பகாஎண். வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math ஆகிய இரு முழுவெண்களின் பெருக்கற்பலனான வார்ப்புரு:Math ஐ, வார்ப்புரு:Math வகுக்கிறது எனில், வார்ப்புரு:Math ஆனது வார்ப்புரு:Math அல்லது வார்ப்புரு:Math ஐ வகுக்கும்.

எனவே இதிலிருந்து பெறப்படும் முடிவு:

$\mathbb{Z}.$ இன் பகாச் சீர்மமாக $n\mathbb{Z}$ 'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே', வார்ப்புரு:Mvar (நேர்ம முழுவெண்) ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கும்.

அதாவது:

$n\mathbb{Z}$ ஒரு பகாச்சீர்மம் $\iff$ $n,$ ஒரு பகா எண்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $R=\mathbb{Z},$ வளையத்தில் இரட்டை எண்களின் உட்கணமானது ஒரு பகாச் சீர்மம்.
• $R$ என்ற முழு ஆட்களத்தின் பகா உறுப்பு $p\in R$ ஆனது, முதன்மை பகாச் சீர்மத்தைப் ($(p)$) பிறப்பிக்கும்.
• சிக்கலெண் கெழுக்களுடன் இரு மாறிகளிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையம் $ℂ[X,Y]$ என்பதை வார்ப்புரு:Mvar குறிக்குமானால், வார்ப்புரு:Math என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையால் பிறப்பிக்கப்படும் சீர்மம், பகாச் சீர்மமாக இருக்கும்.
• $\mathbb{Z}[X]$ என்ற முழுஎண் கெழுக்களைக்கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில், வார்ப்புரு:Math மற்றும் வார்ப்புரு:Mvar ஆல் பிறப்பிக்கப்படும் சீர்மம், பகாச்சீர்மமாக இருக்கும். அப்பகாச்சீர்மத்திலுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எல்லாவற்றிலும் மாறிலிக் கெழு இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.

மேலதிக வாசிப்புக்கு

• வார்ப்புரு:Citation
• வார்ப்புரு:Citation
• வார்ப்புரு:Citation
• வார்ப்புரு:Citation
• வார்ப்புரு:Citation
• வார்ப்புரு:Springer