பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு

நாற்கரம் -ABCD.

வடிவவியலில் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்ப்பாடு (Bretschneider's formula) என்பது ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு.

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}.$

இங்கு a, b, c, d – நாற்கரத்தின் பக்கங்கள், s -நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு, மற்றும் $\alpha$, $\gamma$ -இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள். எதிரெதிர்க் கோணங்கள் $\beta$, $\delta$ -வாகவும் இருக்கலாம். ஏனெனில் நான்கு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $\alpha +\beta +\gamma +\delta =360$ என்பதும் $cos(\theta )=cos(360-\theta )$ என்பதும் உண்மை.

பிரெட்ஷ்ணைடர் வாய்பாடு, எந்தவொரு நாற்கரத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு நாற்கரங்கள் வட்ட நாற்கரங்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

1842 -ல், ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் கார்ல் ஆண்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர் இந்த வாய்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். அதே ஆண்டில் மற்றொரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கார்ல் ஃவான் ஸ்டாட்டும் இதனைக் கண்டுபிடித்தார்.

நிறுவல்

நாற்கரத்தின் பரப்பை K எனக் குறித்தால்:

$\begin{array}{cc}K& =\text{area of}\mathrm{△}ADB+\text{area of}\mathrm{△}BDC\\ & =\frac{ad\sin \alpha }{2}+\frac{bc\sin \gamma }{2}.\end{array}$

$\begin{array}{c}2K=ad\sin \alpha +bc\sin \gamma .\end{array}$

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

$4K^2=(ad{)}^2{\sin }^2\alpha +(bc{)}^2{\sin }^2\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$ ------(1)

கொசைன் விதிப்படி:

$B{D}^2=a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma ,$

$a^2+d^2-b^2-c^2=2ad\cos \alpha -2bc\cos \gamma ,$

$\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2}=ad\cos \alpha -bc\cos \gamma ,$

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

$\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$----------(2)

(1), (2) இரண்டையும் கூட்ட:

$4K^2+\frac{(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma ).$

$16K^2=-(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2+4(ad{)}^2+4(bc{)}^2-8abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma ).$

$16K^2=-(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2+4(ad{)}^2+4(bc{)}^2-8abcd\cdot (2{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)-1).$

$16K^2=-(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2+4(ad{)}^2+4(bc{)}^2+8abcd-16abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

$16K^2=(2(ad)+2(bc){)}^2-(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2-16abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$16K^2=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

அரைச்சுற்றளவு:

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$ -ஐப் பயன்படுத்த:

$(b+c+d-a)=2(s-a)$

$(a+c+d-b)=2(s-b)$

$(a+b+d-c)=2(s-c)$

$(a+b+c-d)=2(s-d)$

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

$16K^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

$K^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

வர்க்கமூலம் காண, குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு கிடைக்கிறது:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}.$

தொடர்புள்ள பிற வாய்பாடுகள்

முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம்தான் வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட படிவம்தான் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு.

வெளி இணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:MathWorld