பொது லைப்னிட்ஸ் விதி

நுண்கணிதத்தில் பொது லைப்னிட்ஸ் விதி (general Leibniz rule), வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். கணிதவியலாளர் லைப்னிட்சின் பெயரால் இவ்விதி அழைக்கப்படுகிறது.

இவ்விதியின் கூற்று:

f ,g ஆகிய இரு சார்புகளும் n -முறை வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில், அவற்றின் பெருக்கற்பலனாக அமையும் சார்பு fg இன் n ஆம் வகைக்கெழு கீழ்க்கண்டவாறு அமையும்:

$(f\cdot g{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$

இங்கு $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}),$ ஈருறுப்புக் கெழுவாகும்.

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் இவ்விதியினை நிறுவலாம்.

பல அடுக்குக் குறியீட்டில் இவ்விதி:

${\partial }^{\alpha }(fg)=\sum _{\{\beta :\beta \le \alpha \}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })({\partial }^{\alpha -\beta }f)({\partial }^{\beta }g).$

P , Q இரண்டும் தேவைப்படும் அளவு வகையிடக்கூடிய கெழுக்களையுடைய வகையீட்டுச் செயலிகள், மேலும் $R=P\circ Q$ எனில் R ஒரு வகையீட்டுச் செயலியாக அமையும். இதைக் காணும் வாய்ப்பாடு:

$R(x,\xi )=e^{-⟨x,\xi ⟩}R(e^{⟨x,\xi ⟩}).$

$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }\frac{1}{\alpha !}{\left(\frac{\partial }{\partial \xi }\right)}^{\alpha }P(x,\xi ){\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{\alpha }Q(x,\xi ).$

வழக்கமாக இவ்வாய்ப்பாடு லைப்னிட்ஸ் வாய்ப்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது.

வெளி இணைப்புகள்

• Planet Math வார்ப்புரு:Webarchive