லெஜாண்டர் குறியீடு

கணிதத்தில் எண் கோட்பாடு என்ற பிரிவில் ஆய்லர் (1707-1783), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியோர் தொடங்கிவைத்த இருபடிய எச்சம் என்ற கருத்துக்கு லெஜாண்டர் குறியீடு (Legendre Symbol) மிக்க பயனளிப்பது.

இருபடிய எச்சம்

$a$ என்ற எண் $p$ என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

ஏதாவதொரு எண் $x$ க்கு, $a\equiv x^2(modp)$ என்ற சமான உறவு.

'$a$ என்ற எண் $p$ என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம்'

என்பதை வேறுவிதமாக, அதாவது,

'மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சம்'

என்றும் சொல்வதுண்டு:

எடுத்துக்காட்டாக,

$2\equiv 3^2(mod7)\therefore 2,7$ இனுடைய இருபடிய எச்சம். அல்லது, மாடுலோ 7 க்கு 2 ஒரு இருபடிய எச்சம்.

லெஜாண்டர் உண்டாக்கிய குறியீடு

a, p இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் (coprime) என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,லெஜாண்டர்

$\left(\frac{a}{p}\right)$

என்ற குறியீட்டுக்கு கீழ்க்கண்டபடி பொருள் கற்பித்தார். அதாவது

மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சம் என்பதை $\left(\frac{a}{p}\right)=+1$ என்றும்

மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது என்பதை $\left(\frac{a}{p}\right)=-1$ என்றும்

குறிகாட்டுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு

${25}^2=13(mod17)\therefore \left(\frac{13}{17}\right)=+1.$

$x^2=5(mod17)$ க்கு தீர்வு கிடையாது. $\therefore \left(\frac{5}{17}\right)=-1.$

லெஜாண்டர் குறியீட்டின் சில பண்புகள்

• $a\equiv b(modp),$ என்றால்

$\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$

• $\left(\frac{1}{p}\right)=1$
• $a,p$ இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் என்றால், $\left(\frac{a^2}{p}\right)=+1$
• $a,p$ பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும், $b,p$ பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும் இருந்தால்,

$\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$

• $\left(\frac{-1}{p}\right)$ = $(-1{)}^{(p-1)/2}$ =$\{\begin{array}{cc}1& ifp\equiv 1(mod4)\\ -1& ifp\equiv 3(mod4)\end{array}$

• • $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{(p^2-1)/8}=\{\begin{array}{c}1\text{ if }p\equiv 1\text{ or }7(\mathrm{mod}8)\\ -1\text{ if }p\equiv 3\text{ or }5(\mathrm{mod}8)\end{array}$

• $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{(p^2-1)/8}=\{\begin{array}{c}1\text{ if }p\equiv 1\text{ or }7(\mathrm{mod}8)\\ -1\text{ if }p\equiv 3\text{ or }5(\mathrm{mod}8)\end{array}$
• $\left(\frac{3}{p}\right)=\{\begin{array}{c}1\text{ if }p\equiv 1\text{ or }11(\mathrm{mod}12)\\ -1\text{ if }p\equiv 5\text{ or }7(\mathrm{mod}12)\end{array}$
• p > 2 ஒரு பகாதனி என்றால்

$\left(\frac{5}{p}\right)=\{\begin{array}{c}1\text{ if }p\equiv 1\text{ or }4(\mathrm{mod}5)\\ -1\text{ if }p\equiv 2\text{ or }3(\mathrm{mod}5)\end{array}$

இருபடிய நேர் எதிர்மையின் லெஜாண்டர் குறியீட்டு வாசகம்

காஸின் இருபடிய நேர் எதிர்மை இப்பொழுது ஒரு எளிதான வாசகத்தைக்கொள்கிறது:

p > 2, q > 2 இரண்டும் பகாதனிகள் என்றால்,

$\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)(-1{)}^{((p-1)/2)((q-1)/2)}$

குறியீட்டின் பயன்பாடு

எ.கா.: $-70,93$ இன் ஒரு இருபடிய எச்சமா அல்லவா என்பதைப்பார்ப்போம்:

$\left(\frac{-70}{93}\right)=\left(\frac{(-1)(7)(2)(5)}{93}\right)$

= $\left(\frac{-1}{93}\right)\left(\frac{7}{93}\right)\left(\frac{2}{93}\right)\left(\frac{5}{93}\right)$

$=(-1{)}^{46}\left(\frac{93}{7}\right)(-1{)}^{1081}\left(\frac{93}{5}\right)=(-1)\times \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{3}{5}\right)=(-1)\times (+1)(-1)=+1$

$\therefore -70,93$ இன் இருபடிய எச்சமே.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சமானம், மாடுலோ n