வகையிடலின் அடுக்கு விதி

நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் அடுக்கு விதி அல்லது சுருக்கமாக அடுக்கு விதி (power rule) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. வகையிடலின் நேரியல் தன்மையால் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வகையிட இவ்விதி பயன்படுகிறது.

இவ்விதியின் கூற்று:

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1},n\ne 0.$

இவ்விதி, பூச்சியத்தைத் தவிர பிற அனைத்து அடுக்குகளுக்கும் பொருந்தும். அடுக்குப் பூச்சியமாக இருந்தால் மாறிலி விதிப்படி வகையிடலாம். மாறிலி விதிப்படி $x^0$ இன் மதிப்பு பூச்சியமாகும்.

ஆனால் அடுக்கு விதிப்படி வகையிட்டால்:

$\frac{d}{dx}(x^0)=0\cdot x^{-1},$ இதன் மதிப்பு $x=0$ எனும்போது வரையறுக்கப்படாததாக உள்ளது.

$x^{-1}$ ஐத் தவிர மற்ற அனைத்து $x$ இன் அடுக்குகளையும் அடுக்கு விதியின் நேர்மாறு விதியைப் பயன்படுத்தித் தொகையிடலாம்.

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,n\ne -1.$

இந்த வரையறுக்கப்படாத தொகையீட்டில், $C$ என்பது தொகையீட்டின் மாறிலி.

மேலே தரப்பட்டுள்ள தொகையீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தி $x^{-1}$ ஐத் தொகையிட முடியாது. இதற்குத் தனி வாய்ப்பாடு உள்ளது.

$\int x^{-1}dx=\ln |x|+C,$

எனவே,

$x^{100}$ இன் வகைக்கெழு $100x^{99}$;

$x^{100}$ இன் தொகையீடு $\frac{1}{101}{x}^{101}+C$.

விதியும் நிறுவலும்

பழங்காலத்தில் $x^n$ ($n\ge 0$) இன் கீழ் அமையும் பரப்பினைத் தரும் கவாலியரின் குவாடரேச்சர் வாய்ப்பாட்டின் நேர்மாறு விதியாக வகையிடலின் அடுக்கு விதி கருதப்பட்டது. தற்காலத்தில் வகையிடலின் அடுக்கு விதி முதலில் பெறப்பட்டு அதன் நேர்மாறு விதியாக தொகையிடல் விதி கருதப்படுகிறது.

$n\ge 1$ எனில்,

$f(x)=x^n$ இன் வகைக்கெழு,

$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1},$

$\left(x^n\right)=n{x}^{n-1}.$

நிறுவல்

$f(x)=x^n$

$f(x)-f(a)=x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+a{x}^{n-2}+\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1})$

$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

$=$ $\underset{x\to a}{\lim }\frac{x^n-a^n}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }{x}^{n-1}+a{x}^{n-2}+\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1}$

வகுத்தல் செயல் நீக்கப்பட்டதாலும் இது தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதாலும் இந்த எல்லையின் மதிப்பு:

$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }{x}^{n-1}+a{x}^{n-2}+\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1}=a^{n-1}+a^{n-1}+\cdots +a^{n-1}+a^{n-1}=n\cdot a^{n-1}$

வகையிடலின் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி எதிர்ம அடுக்குகளுக்கும், அடுக்குக்குறி விதிகளையும் வகையிடலின் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி விகிதமுறு அடுக்குகளுக்கும் இவ்வாய்ப்பாட்டை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம். அடுக்கு விகிதமுறா எண்ணாக இருந்தால், அதனை விகிதமுறு எண்ணாகத் தோராயப்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வகையிடல்

வகையிடலின் நேரியல்புத் தன்மையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவையை வகையிடலாம்:

$\left(\sum _{r=0}^n{a}_r{x}^r\right)=\sum _{r=0}^n\left(a_r{x}^r\right)=\sum _{r=0}^n{a}_r\left(x^r\right)=\sum _{r=0}^{n}r{a}_r{x}^{r-1}.$

இதேபோல தொகையிடலில்:

$\int \left(\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k\right)dx=\sum _{k=0}^n\frac{a_k{x}^{k+1}}{k+1}+C.$

மேற்கோள்கள்

• கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 73. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm வார்ப்புரு:Webarchive
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. வார்ப்புரு:ISBN.