வகையிடலின் கூட்டல் விதி

நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் கூட்டல் விதி (sum rule in differentiation) என்பது, இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் கூடுதலாக அமையும் ஒரு சார்பினை வகையிடப் பயன்படுத்தப்படும் விதியாகும். வகையிடலின் நேரியல்புத்தன்மையின் ஒரு பகுதியாக இது அமைகிறது. இவ்விதியிலிருந்துதான் தொகையிடலின் கூட்டல் விதி பெறப்படுகிறது.

இவ்விதியின் கூற்று:

f , g வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்:

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் இவ்விதி:

u , v ஆகியவை வகையிடக்கூடிய இரண்டு சார்புகள் எனில்,

இவ்விரு சார்புகளின் கூடுதலின் வகைக்கெழு:

$\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$

இவ்விதி கூட்டலுக்கு மட்டுமின்றி கழித்தலுக்கும், இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலுக்கும் பயன்படுகிறது.

$\frac{d}{dx}(u+v+w+\dots )=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}+\frac{dw}{dx}+\cdots$

நிறுவல்

கூட்டல் விதியை வகையிடலின் அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

$y=u+v$

Δy, Δu , Δv என்பவை முறையே y, u , v ஆகியவற்றில் ஏற்படும் சிறிய கூடுதல் அளவுகள் எனில்:

$y+\mathrm{\Delta }y=(u+\mathrm{\Delta }u)+(v+\mathrm{\Delta }v)=(u+v)+\mathrm{\Delta }u+\mathrm{\Delta }v=y+\mathrm{\Delta }u+\mathrm{\Delta }v$

$\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }u+\mathrm{\Delta }v$

Δx ஆல் வகுக்க:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}$

$\mathrm{\Delta }x\to 0$ எனில்:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}+\underset{\mathrm{\Delta }v\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}$

வகையிடலின் வரையறைப்படி:

$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$

எனவே வகையிடலின் கூட்டல் விதி:

$\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$

கழித்தலுக்கு நீட்டிப்பு

வகையிடலின் கூட்டல் விதியைக் கழித்தலுக்குப் பொருத்தமானதாக பின்வருமாறு நிறுவலாம்.

$\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u+(-v))=\frac{du}{dx}+\frac{d}{dx}(-v).$

வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியின் சிறப்பு வகையான k=−1 என்பதன் முடிவைப் பயன்படுத்த:

$\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{du}{dx}+(-\frac{dv}{dx})=\frac{du}{dx}-\frac{dv}{dx}.$

எனவே கூட்டல், கழித்தல் இரண்டையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பின்வருமாறு தரலாம்:

$\frac{d}{dx}(u\pm v)=\frac{du}{dx}\pm \frac{dv}{dx}.$

பொதுமைப்படுத்தல்

f₁, f₂,..., f_n ஆகிய சார்புகளுக்கு:

$\frac{d}{dx}(\sum _{1\le i\le n}{f}_i(x))=\frac{d}{dx}(f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x))=\frac{d}{dx}{f}_1(x)+\frac{d}{dx}{f}_2(x)+\cdots +\frac{d}{dx}{f}_n(x)$

$\frac{d}{dx}(\sum _{1\le i\le n}{f}_i(x))=\sum _{1\le i\le n}(\frac{d}{dx}{f}_i(x)).$

அதாவது, தரப்பட்ட சார்புகளின் கூடுதலின் வகைக்கெழு அச்சார்புகள் ஒவ்வொன்றின் வகைக்கெழுக்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.

மேற்கோள்கள்

• Gilbert Strang: Calculus. SIAM 1991, வார்ப்புரு:ISBN, p. 71 (restricted online version (google books))
• வார்ப்புரு:Webarchive sum rule at PlanetMath
• கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 76. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm வார்ப்புரு:Webarchive