வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி

$f(x)={\log }_2(x);$
$f^{\prime }(x)=\log 2\cdot (x)$
$f^{-1}(x)=2^x;$
$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=log2\cdot 2^x$
விதி:
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x))}$ $x_0\approx 5.8$ எனில்:
$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{4}$
$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x_0))=4$

நுண்கணிதத்தில், வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி அல்லது நேர்மாறுச் சார்பு விதி (Inverse funcion rule) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.

விதியின் கூற்று:

சார்பு $f$ மற்றும் அதன் நேர்மாறு, $f^{-1}$ இரண்டும் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில் $x=a$ என்ற புள்ளியில்:

$\left[f^{-1}\right](a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$

இது லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில் தரப்பட்டுள்ளது.

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$

ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவும் அதன் நேர்மாறின் வகைக்கெழுவும் தலைகீழிகளாக அமைகின்றன.

இது சங்கிலி விதியிலிருந்து பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது:

$y=f(x)$ எனில்,

$x=f^{-1}(y)$

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஐப் பொறுத்து வகையிட:

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dx}{dx}=1$

($x$ ஐப் பொறுத்து $x$ இன் வகைக்கெழு 1)

ஒரு சார்பின் வரைபடமும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடமும் ஒன்றுக்கொன்று வார்ப்புரு:Nowrap, கோட்டைப் பொறுத்த பிரதிபலிப்புகளாக அமையும். பிரதிபலிப்புச் செயலால் ஒரு கோட்டின் சாய்வும் அக்கோட்டின் பிரதிபலிப்பு எதிருவாக அமையும் கோட்டின் சாய்வும் தலைகீழிகளாக இருக்கும்.

$f$ சார்புக்கு $x$ இன் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருந்து, புள்ளி $x$ இல் $f$ இன் வகைக்கெழு பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால், அப்புள்ளியில் நேர்மாறுச் சார்பும் வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அந்த வகைக்கெழுவை மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணவும் முடியும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $y=x^2$

இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ($x$ இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்):

$x=\sqrt{y}$.

$\frac{dy}{dx}=2x;\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=2x\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{2x}{2x}=1.$

எனினும் வார்ப்புரு:Nowrap, இல் ஒரு சிக்கல் உள்ளது: வர்க்கச் சார்பின் வரைபடத்தின் கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு ஒத்தவாறு வர்க்கமூலச் சார்பின் வரைபடம் நிலைக்குத்தாக அமையும்.

• $y=e^x$

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு ($y$ இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்)

$x=\ln y$

$\frac{dy}{dx}=e^x;\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=e^x\cdot \frac{1}{y}=\frac{e^x}{e^x}=1$

கூடுதல் பண்புகள்

நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டைத் தொகையிட,

$f^{-1}(x)=\int \frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}dx+c$

இத் தொகையீட்டின் மதிப்புக் காண முடிந்தால் மட்டுமே இம்முடிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, தொகையிடப்படும் எல்லைக்குள், $f^{\prime }(x)$ இன் மதிப்பு பூச்சியமற்றதாக இருக்க வேண்டும்.

இதிலிருந்து தொடர்ச்சியான வகைக்கெழு உடைய சார்புகளுக்கெல்லாம், வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகாத புள்ளிகளின் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும் என்பது தெரிய வருகிறது. வகைக்கெழுச் சார்பு தொடர்ச்சியானது இல்லையெனில் இது உண்மையாக இருக்காது.

உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

முதல் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாடு:

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1(1)$

இவ்வாய்ப்பாட்டை மீண்டும் $x$ ஐப் பொறுத்து வகையிட:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot \frac{dx}{dy}+\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=0$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot \frac{dx}{dy}=-\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2$

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ எனப்பிரதியிட,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3(2)$.

$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}{(\frac{dy}{dx}{)}^3}(**)$. -நேர்மாறுச் சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு

லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:

$\left(f^{-1}\right)(y)=\frac{-f^{″}(y)}{[f^{\prime }(y){]}^3}$

முடிவு (2) ஐ மீண்டும் $x$ ஐப் பொறுத்து வகையிட,

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=-\frac{d^{3}x}{d{y}^3}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4-3\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2$

இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=-\frac{d^{3}x}{d{y}^3}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4+3{\left(\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^5$

$\frac{d^{3}x}{d{y}^3}=\frac{\frac{-d^{3}y}{d{x}^3}+3{\left(\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^5}{{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4}(***)$ -நேர்மாறுச் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு.

இவ்வாய்ப்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தலே ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு

• $y=e^x$

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு,

$x=\ln y$.

$\frac{dy}{dx}=e^x=y;$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^x=y;$

${\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3=y^3;$

இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,

$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot y^3+y=0;\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{1}{y^2}$,

$x=\ln y$. இதனை நேரிடையாக இருமுறை வகையிட்டாலும் இதே முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம்.