வட்டு (கணிதம்)

வட்டின் வார்ப்புரு:Legend-line வார்ப்புரு:Legend-line வார்ப்புரு:Legend-line வார்ப்புரு:Legend-line

வடிவவியலில் வட்டு (disk அல்லது disc) என்பது, தளத்தில் வட்டமொன்றால் அடைபடும் பகுதியைக் குறிக்கும். எல்லையாகவுள்ள வட்டத்தையும் சேர்த்துக்கொண்டால், அவ்வட்டானது "மூடிய வட்டு" எனவும், சேர்த்துக்கொள்ளாவிட்டால் "திறந்த வட்டு" எனவும் அழைக்கப்படும்.

வழக்கமாக, $r$ ஆரமுள்ள திறந்த வட்டு $D_r$ எனவும், மூடிய வட்டு $\overline{D_r}$ எனவும் குறியிடப்படுகின்றன. எனினும் இடவியலில் $D^2$ திறந்த வட்டு $\mathrm{Int}{D}^2$ என்றும், மூடிய வட்டு $D^2$ எனவும் குறிக்கப்படுகின்றன.

வாய்பாடுகள்

காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில்,

$(a,b)$ மையமும் R ஆரமுங்கொண்ட திறந்த வட்டின் சமன்பாடு:

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<R^2\}$

$(a,b)$ மையமும் R ஆரமுங்கொண்ட மூடிய வட்டின் சமன்பாடு:

$\bar{D}=\{(x,y)\in {ℝ}^2:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le R^2\}.$

R ஆரமுள்ள மூடிய வட்டின் பரப்பளவு: πR²

பண்புகள்

• வட்டானது வட்டச் சமச்சீர் உடையது.

• திறந்த வட்டும் மூடிய வட்டும் இடவியலாக சமானமானவை அல்ல. அதாவது உருவொத்தவையல்ல. அவற்றின் இடவியல் பண்புகள் மாறுபட்டவை. இருப்பினும் இரண்டும் பொதுவான சில பண்புகளையும் கொண்டுள்ளன.

• ஒரு புள்ளியின் (எனவே, திறந்த மற்றும் மூடிய வட்டின்) ஆய்லர் பான்மை எண் '1' ஆகும்.

• ஒரு மூடிய வட்டிலிருந்து அம்மூடிய வட்டிற்கே வரையறுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான சார்புக்கும் குறைந்தபட்சமாக ஒரு நிலைத்த புள்ளி உண்டு. இச்சார்பு இருவழிக்கோப்பாகவோ அல்லது முழுக்கோப்பாகவோ இருக்கவேண்டுமென்பதில்லை); இக்கூற்று புரூவர் நிலைத்த புள்ளி தேற்றத்தின் n=2 வகையாகும். மேலும் இக்கூற்றானது திறந்த வட்டுக்குப் பொருந்தாது:

எடுத்துக்காட்டாக:

$f(x,y)=(\frac{x+\sqrt{1-y^2}}{2},y)$ என்ற சார்பு, திறந்த அலகு வட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் அதே திறந்த அலகு வட்டின் ஒரு புள்ளியோடு இணைக்கிறது. ஆனால் மூடிய அலகு வட்டில், அதன் வரம்பு அரைவட்டத்தின் ($x^2+y^2=1,x>0.$) மீதமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் நிலைத்த புள்ளியாகக் கொண்டுள்ளது.