வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம்

வார்ப்புரு:Center

யூக்ளீடிய வடிவவியலின் முக்கிய முடிவான வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் (butterfly theorem) கூற்று:வார்ப்புரு:Rp

ஒரு வட்டத்தின் நாண் வார்ப்புரு:Math இன் நடுப்புள்ளி வார்ப்புரு:Math; இந்த நடுப்புள்ளிவழியே வட்டத்திற்கு மேலும் இரு நாண்கள் வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math வரையப்படுகின்றன; வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இரண்டும் நாண் வார்ப்புரு:Math ஐ வெட்டும் புள்ளிகள் முறையே வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math எனில், வார்ப்புரு:Math இன் நடுப்புள்ளி வார்ப்புரு:Math ஆக இருக்கும். .

நிறுவல்

வார்ப்புரு:Center

வார்ப்புரு:Math புள்ளியிலிருந்து வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math கோடுகளுக்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடுகள் முறையே வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math; வார்ப்புரு:Math புல்ளியிலிருந்து வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math கோடுகளுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் முறையே வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி:

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime }⟹\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }},$

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″}⟹\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″}⟹\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY},$

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime }⟹\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }}=\frac{DX}{BY}.$

மேலுள்ள நான்கு முடிவுகள் மற்றும் வெட்டும் நாண்கள் தேற்றத்தின்படி:

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$=\frac{AX\cdot DX}{CY\cdot BY},$

$=\frac{PX\cdot QX}{PY\cdot QY},$

$=\frac{(PM-XM)\cdot (MQ+XM)}{(PM+MY)\cdot (QM-MY)},$

$=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2},$ (வார்ப்புரு:Math).

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}.$

குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய:

$(MX{)}^2\cdot (PM{)}^2-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2=(MY{)}^2\cdot (PM{)}^2-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2.$

இருபுறமுமுள்ள பொது உறுப்பான $-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2$ ஐ நீக்க:

$(MX{)}^2\cdot (PM{)}^2=(MY{)}^2\cdot (PM{)}^2,$

MX, MY, PM மூன்றும் நேர்ம மெய்யெண்கள் என்பதால்:

வார்ப்புரு:Math

அதாவது வார்ப்புரு:Math, வார்ப்புரு:Math இன் நடுப்புள்ளி.

வீழ்ப்பு வடிவவியலைப் பயன்படுத்தும் ஒரு நிறுவல் உள்ளிட்ட வேறு நிறுவல்களும் இத்தேற்றத்துக்கு உள்ளன.

வரலாறு

1803 ஆம் ஆண்டில் வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் நிறுவல் அறியப்படவேண்டும் என கணிதவியலாளர் வில்லியம் வாலசு கூறினார். 1804 இல் மூன்று நிறுவல்கள் வெளியிடப்பட்டன. 1805 இல் கணிதவியலாளர் வில்லியம் எர்செல், வில்லியம் வாலசுக்கு எழுதிய கடிதத்தில் இத்தேர்றத்தின் நிறுவலைக் காணவேண்டுமெனக் கூறினார். 1814 ஆம் ஆண்டில் மீண்டும் இதே கோரிக்கை ரெவரன்சு. தாமசு இசுக்கர் (Rev. Thomas Scurr) என்பவரால் எழுப்பப்பட்டது.

வெளியிணைப்புகள்

• The Butterfly Theorem at cut-the-knot
• A Better Butterfly Theorem at cut-the-knot
• Proof of Butterfly Theorem at PlanetMath
• The Butterfly Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
• வார்ப்புரு:MathWorld