விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்

இயற்கணிதத்தில் விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் அல்லது வார்ப்புரு:Math தேற்றம் (rational root theorem , rational zero theorem, வார்ப்புரு:Math theorem)

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0,$ ($a_i\in \mathbb{Z}$ , $a_0,a_n\ne 0$) இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளை விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் அல்லது வார்ப்புரு:Math தேற்றம் (rational root theorem , rational zero theorem, வார்ப்புரு:Math theorem

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0$ ($a_i\in \mathbb{Z}$ , $a_0,a_n\ne 0$ பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளைத் தருகிறது. சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் வலப்பக்கப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களென அழைக்கப்படுகின்றன.

தேற்றத்தின் கூற்று: மேலுள்ள சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகள் வார்ப்புரு:Math ஒவ்வொன்றும் எளியவடிவிற்குச் சுருக்கப்பட்டிருந்தால், (அதாவது வார்ப்புரு:Math , வார்ப்புரு:Math இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள்) கீழ்வரும் முடிவுகள் நிறைவு செய்யப்படும்:

• மாறிலி உறுப்பு வார்ப்புரு:Math இன் முழுவெண் வகுத்தியாக வார்ப்புரு:Math இருக்கும்.
• முதன்மைக் கெழு வார்ப்புரு:Math இன் முழுவெண் வகுத்தியாக வார்ப்புரு:Math இருக்கும்.

பயன்பாடு

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இருந்தால் அவற்றைக் காண்பதற்கு இத்தேற்றத்தப் பயன்படுத்தலாம். ஏதெனுமொரு விகிதமுறு மூலம் வார்ப்புரு:Math கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, அக்கோவையிலிருந்து வகுத்தல் மூலம் வார்ப்புரு:Math காரணியை நீக்க, ஒரு படி குறைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கும். அதன் மூலங்கள் தரப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களாக இருக்கும்.

முப்படிச் சமன்பாடு

முப்படிச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ (கெழுக்கள் முழு எண்கள்)

இச்சமன்பாட்டிற்கு சிக்கலெண் தளத்தில் மூன்று தீர்வுகள் உண்டு. இதில் ஒன்று விகிதமுறு தீர்வு வார்ப்புரு:Math என விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைக் கொண்டு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், வார்ப்புரு:Math காரணியை நீக்க மீதமுள்ள சமன்பாடு இருபடிச் சமன்பாடாக இருக்கும். அதன் தீர்வுகளை இருபடி வாய்பாடு கொண்டு காணலாம்.

நிறுவல்

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ ($a_0,\dots a_n\in \mathbb{Z}.$)

இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு விகிதமுறு மூலம் p/q. அதாவது வார்ப்புரு:Math (p, q இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள், வார்ப்புரு:Math) எனில்:

$P\left(\frac{p}{q}\right)=a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0.$

இருபுறமும் வார்ப்புரு:Math ஆல் பெருக்க:

$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0.$

• வார்ப்புரு:Math உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி வார்ப்புரு:Mvarயை வெளியிலெடுக்க:

$p(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}q{p}^{n-2}+\cdots +a_1{q}^{n-1})=-a_0{q}^n.$

எனவே வார்ப்புரு:Mvar ஆனது வார்ப்புரு:Math ஐ மீதியின்றி வகுக்கும். ஆனால் வார்ப்புரு:Mvar, வார்ப்புரு:Mvar இரண்டும் சார்பகா எண்கள் என்பதால் வார்ப்புரு:Mvar ஆனது, வார்ப்புரு:Math ஐ வகுக்காது. எனவே வார்ப்புரு:Mvar ஆனது மீதியுள்ள காரணி வார்ப்புரு:Mathயை வகுக்கும்.

• இதேபோல வார்ப்புரு:Math உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி வார்ப்புரு:Mvarயை வெளியிலெடுக்க:

$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+a_{n-2}q{p}^{n-2}+\cdots +a_0{q}^{n-1})=-a_n{p}^n.$

மேலே விளக்கியதுபோல இங்கும் வார்ப்புரு:Mvar ஆனது வார்ப்புரு:Mathயை வகுக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1:

$P(x)=2x^3+x-1,$

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலம் இருக்குமானால் அம்மூலத்தின் தொகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 2 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை:

±1/2 , ±1

ஆனால் P(±1/2) P(±1) ஆகிய நான்கின் மதிப்புகளுமே பூச்சியமில்லை. எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்களே கிடையாது.

எடுத்துக்காட்டு 2:

$P(x)=x^3-7x+6$

இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இருக்கக்கூடிய விகிதமுறு மூலத்தின் தொகுதி 6 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை: ±1, ±2, ±3, and ±6.

இவற்றுள் P(1) = P(2) = P(-3) = 0 ஆக அமைவதைக் காணலாம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதமுறு மூலங்கள்: 1, 2, -3 இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி மூன்று என்பதால் இதன் மூலங்களனைத்தும் விகிதமுறு மூலங்கள் (ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சில மூலங்கள் விகிதமுறு மூலங்களாகவும் சில விகிதமுறா மூலங்களாகவும் அமையலாம்).

மேற்கோள்கள்

• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, வார்ப்புரு:Isbn, pp. 216–221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, வார்ப்புரு:Isbn, pp. 116–117 (வார்ப்புரு:Google books)
• Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, வார்ப்புரு:Isbn, pp. 23–24 (வார்ப்புரு:Google books)

வெளியிணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:MathWorld
• RationalRootTheorem வார்ப்புரு:Webarchive at PlanetMath
• Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
• The Rational Roots Test at purplemath.com