வீச்சளவை சுழிவளவை தேற்றம்

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் வீச்சளவை-சுழிவளவை தேற்றம் (Rank-Nullity Theorem) அடிப்படைத் தேற்றங்களில் முதன்மையானது. ஒரு முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளியிலிருந்து மற்றொரு திசையன் வெளிக்குப் போகும் ஒரு நேரியல் கோப்பைப் பற்றிய பற்பல விவரங்கள் இத்தேற்றத்திலிருந்துதான் தொடங்குகின்றன. ஒரு நேரியல் கோப்பு $T:U\to V$ இனுடைய வீச்சின் பரிமாணம் வீச்சளவை என்றும் அதன் சுழிவின் பரிமாணம் சுழிவளவை என்றும் சொல்லப்படும். அவ்விரண்டு பரிமாணங்களின் கூட்டுத்தொகை dimU க்குச்சமம் என்பதுதான் இத்தேற்றம்.

தேற்றம்

$T:U\to V$ ஒரு நேரியல் கோப்பு என்றும் U வின் பரிமாணம் p என்றும் கொள்.

$R(T)=T$ இன் வீச்சு; அ-து $\{v\in V:U$ விலுள்ள ஏதோ ஒரு $u$ க்கு $T(u)=v\}$

$N(T)=T$ இன் சுழிவு, அ-து $\{u\in U:T(u)=0\}$

$r(T)$ = வீச்சளவை = $R(T)$ இன் பரிமாணம்.

$n(T)$ = சுழிவளவை = $N(T)$ இன் பரிமாணம்.

என்றால், $r(T)+n(T)=p$

விளைவுகள்

• $T:U\to V$ ஒரு நேரியல் முழுக்கோப்பு என்றும் $U$ வின் பரிமாணம் $p$ என்றும் கொள்.

இப்பொழுது, $T$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருந்தால், இருந்தால் தான், $dimV=p$

• $U,V$ இரண்டும் முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகள் என்றால்,

ஒரு நேரியல் கோப்பு $T:\to V$ உள்ளிடுகோப்பாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அது முழுக்கோப்பாக இருக்கும்.

• $U,V$ இரண்டும் $p$-பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகள் என்றும், $T:U\to V$ ஒரு நேரியல் கோப்பு என்றும் கொள்.

இப்பொழுது, பின்வரும் வாசகங்களெல்லாம் ஒன்றுக்கொன்று சமானம்:

(அ) $T$ ஒரு வழுவிலா கோப்பு; அ-து, ஒன்றுக்கொன்று இயைபான கோப்பு, மற்றும் முழுக்கோப்பு.

(ஆ) $T$ ஒரு உள்ளிடு கோப்பு

(இ) $T,U$ விலுள்ள நேரியல் சார்பற்ற உட்கணங்களை $V$ இன் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணங்களாக உருமாற்றுகிறது.

(ஈ) $T,U$ வினுடைய ஒவ்வொரு அடுக்களத்தையும் $V$ இன் ஒரு அடுக்களமாக மாற்றுகிறது.

(உ) $T$ ஒரு முழுக்கோப்பு

(ஊ) $T$ இன் வீச்சளவை $r(T)=p$

(எ) $T$ இன் சுழிவளவை $n(T)=0$

(ஏ) $T^{-1}$ க்கு இருப்பு உண்டு.

• $p$-பரிமாணமுள்ள மெய்யெண் திசையன் வெளி எதுவும் ${V_p}^{𝐑}$ உடன் சம அமைவியமுள்ளது.
• $p$-பரிமாணமுள்ள சிக்கலெண் திசையன் வெளி எதுவும் ${V_p}^{𝐂}$ உடன் சம அமைவியமுள்ளது.

துணை நூல்கள்

• Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. வார்ப்புரு:ISBN.
• V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. வார்ப்புரு:ISBN