ஹேட்விகர்-பின்சுலெர் சமனிலி

கணிதத்தில், ஹேட்விகர்-பின்சுலெர் சமனிலி (Hadwiger–Finsler inequality) என்பது ஒரு தளத்திலமைந்த முக்கோணம் குறித்த ஒரு வடிவவியல் முடிவாகும்.

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a, b, c; பரப்பளவு T எனில்:

$a^2+b^2+c^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}T\text{(HF)}.$

தொடர்புள்ள சமனிலிகள்

• ஹேட்விகர்-பின்சுலெர் சமனிலியின் நேரடியான கிளைமுடிவு (வெயிட்சென்பாக்கின் சமனிலி):

முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் a, b, c; பரப்பளவு T எனில்:

$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}T\text{(W)}.$

வெயிட்சென்பாக்கின் சமனிலியை ஈரோனின் வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம். சமபக்க முக்கோணமாக ( a = b = c) "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே," இச்சமனிலியின் (W) சமக்குறிக்கான முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

• நாற்கரத்துக்கான வடிவம்:

ABCD ஒரு குவிவு நாற்கரம்; அதன் பக்க நீளங்கள் a, b, c, d; பரப்பளவு T எனில்:

$a^2+b^2+c^2+d^2\ge 4T+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\sum (a-b{)}^2$

இதில், $\sum (a-b{)}^2=(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(a-d{)}^2+(b-c{)}^2+(b-d{)}^2+(c-d{)}^2$

நாற்கரம் சதுரமாக இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமக்குறிக்கான முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

வரலாறு

இச்சமனிலி சுவிட்சர்லாந்தின் கணிதவியலாளர்கள் ஹூயூகோ ஹேட்விகர், பால் பின்சுலெர் ஆகியோரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. அவர்கள் இருவரும் இதனை பின்சுலெர்-ஹேட்விகர் தேற்றத்துடன் சேர்த்து 1937 இல் வெளியிட்டனர். பின்சுலெர்-ஹேட்விகர் தேற்றம் இரு சதுரங்களுடன் ஒரு உச்சியைப் பகிரும் மற்றொரு சதுரத்தை தருவித்தல் பற்றியதாகும்.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Cite journal
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, வார்ப்புரு:ISBN, pp. 84-86

வெளியிணைப்புகள்

• வார்ப்புரு:PlanetMath
• வார்ப்புரு:PlanetMath